Lấy bi từ bình hoa

Cách nó hoạt động

Bấm vào bình hoa: một viên bi rơi ra, nằm vào chiếc đĩa đầu tiên, và sơ đồ cây sáng lên nhánh tương ứng.
Bấm lần nữa để lấy viên thứ hai, rồi đọc xem mỗi màu còn lại bao nhiêu viên và lúc đó xác suất ra bi đỏ là bao nhiêu.
Nhấn Tự động lấy để lấy 1.000 lượt và xem tỉ lệ câu trả lời có ổn định dần ở 5/18 ≈ 27,8%.

Lấy không hoàn lại

Mỗi viên bi bạn lấy ra sẽ ở ngoài luôn. Bình vơi dần và thành phần bi thay đổi, nên xác suất của viên thứ hai phụ thuộc vào viên thứ nhất. Sau một viên đỏ, 4 trong 8 viên còn lại là bi đỏ: 4/8. Sau một viên xanh, 5 trong 8 viên là bi đỏ: 5/8. Các lần lấy không độc lập với nhau, và xác suất trên mỗi nhánh của sơ đồ cây là một xác suất có điều kiện: xác suất ra màu này, biết các màu đã lấy ra trước đó.

Nhân dọc theo các nhánh

Xác suất của một đường đi trên sơ đồ cây là tích các xác suất trên các nhánh của nó: đỏ rồi đỏ là 5/9 × 4/8 = 20/72. Đó là quy tắc nhân: P(A và B) = P(A) × P(B biết A). Bốn đường đi đỏ-đỏ, đỏ-xanh, xanh-đỏ và xanh-xanh có xác suất 20/72, 20/72, 20/72 và 12/72, và cộng lại được 72/72 = 1, vì luôn có một trong số chúng xảy ra.

Cộng các đường đi thỏa mãn

Một câu hỏi như "hai viên bi có cùng màu không?" được trả lời bởi nhiều hơn một đường đi: đỏ-đỏ và xanh-xanh. Xác suất của chúng được cộng lại: 20/72 + 12/72 = 32/72 = 4/9. Khi phần lớn các đường đi thỏa mãn, trừ đi những đường không thỏa mãn sẽ nhanh hơn: ít nhất một viên đỏ là 1 − 12/72 = 60/72 = 5/6. Ứng dụng hiển thị phép tính cho mọi câu hỏi.

Lấy có hoàn lại

Bỏ mỗi viên bi trở lại thì bình như nhau ở mọi lần lấy: khi đó cả hai đều đỏ là 5/9 × 5/9 = 25/81 ≈ 30,9%, nhỉnh hơn 27,8% một chút. Các lần lấy độc lập với nhau. Bình càng lớn, chênh lệch càng nhỏ: với 10 bi đỏ và 10 bi xanh, hai bi đỏ là 9/38 ≈ 23,7% khi không hoàn lại và 25% khi có hoàn lại. Trong một bình nhỏ có 2 bi đỏ và 2 bi xanh, chênh lệch rất lớn: hai viên cùng màu là 1/3 khi không hoàn lại và 1/2 khi có hoàn lại.

Hỏi thường xuyên

Xác suất lấy được hai bi đỏ từ 5 bi đỏ và 4 bi xanh là bao nhiêu?

Nếu không bỏ viên thứ nhất trở lại: 5/9 × 4/8 = 20/72 = 5/18, khoảng 27,8%. Nếu bỏ trở lại: 5/9 × 5/9 = 25/81, khoảng 30,9%.

Lấy có hoàn lại và lấy không hoàn lại khác nhau thế nào?

Khi có hoàn lại, mỗi lần lấy đều bắt đầu từ cùng một bình, nên các lần lấy độc lập và xác suất giữ nguyên. Khi không hoàn lại, bình thay đổi sau mỗi lần lấy, nên mỗi xác suất phụ thuộc vào những gì đã lấy ra trước đó.

Vì sao phải nhân các xác suất trên sơ đồ cây?

Vì xác suất thứ hai là một phần của xác suất thứ nhất. Trong tất cả các lượt, 5/9 bắt đầu bằng một viên bi đỏ, và trong số đó, 4/8 tiếp tục với viên đỏ thứ hai: một nửa của năm phần chín là 5/18.

Thứ tự các lần lấy có quan trọng không?

Không, đối với xác suất của một tổ hợp. Đỏ rồi xanh và xanh rồi đỏ đều có xác suất 20/72 (5/9 × 4/8 và 4/9 × 5/8): cùng những con số, chỉ nhân theo thứ tự khác. Đúng một viên đỏ là tổng của cả hai đường đi: 40/72 = 5/9.

Có tải gì lên không?

Không. Mọi thứ được tính toán và vẽ trên canvas trong trình duyệt. Lưu sẽ tải xuống một PNG. Chỉnh sửa mở ảnh đó trong trình chỉnh sửa PictorX.