Billes dans un vase

Comment ça marche

Cliquez sur le vase : une bille sort et tombe dans la première coupelle, et l’arbre pondéré éclaire sa branche.
Cliquez à nouveau pour la deuxième bille, et lisez combien il restait de billes de chaque couleur et quelle était alors la probabilité de tirer une rouge.
Appuyez sur Tirer automatiquement pour effectuer 1 000 essais, et regardez la proportion de « oui » se stabiliser à 5/18 ≈ 27,8 %.

Sans remise

Chaque bille tirée reste dehors. Le vase se vide peu à peu et sa composition change, donc la probabilité pour la deuxième bille dépend de la première. Après une rouge, 4 des 8 billes restantes sont rouges : 4/8. Après une bleue, 5 des 8 sont rouges : 5/8. Les tirages sont dépendants, et la probabilité portée par chaque branche de l’arbre est une probabilité conditionnelle : la probabilité de cette couleur sachant les couleurs déjà tirées.

Multiplier le long des branches

La probabilité d’un chemin de l’arbre est le produit des probabilités portées par ses branches : rouge puis rouge donne 5/9 × 4/8 = 20/72. C’est la formule des probabilités composées : P(A et B) = P(A) × P(B sachant A). Les quatre chemins rouge-rouge, rouge-bleu, bleu-rouge et bleu-bleu ont pour probabilités 20/72, 20/72, 20/72 et 12/72, et ensemble ils font 72/72 = 1, car l’un d’eux se produit toujours.

Additionner les chemins qui comptent

Une question comme « les deux billes sont-elles de la même couleur ? » a pour réponse plus d’un chemin : rouge-rouge et bleu-bleu. On additionne leurs probabilités : 20/72 + 12/72 = 32/72 = 4/9. Quand la plupart des chemins comptent, il est plus rapide de retrancher ceux qui ne comptent pas : au moins une rouge, c’est 1 − 12/72 = 60/72 = 5/6. L’application affiche le calcul pour chaque question.

Avec remise

Remettez chaque bille et le vase est le même à chaque tirage : deux rouges ont alors une probabilité de 5/9 × 5/9 = 25/81 ≈ 30,9 %, un peu plus que 27,8 %. Les tirages sont indépendants. Plus le vase est grand, plus la différence est faible : avec 10 rouges et 10 bleues, deux rouges, c’est 9/38 ≈ 23,7 % sans remise et 25 % avec remise. Dans un petit vase de 2 rouges et 2 bleues, la différence est grande : deux billes de la même couleur, c’est 1/3 sans remise et 1/2 avec remise.

Questions fréquemment posées

Quelle est la probabilité de tirer deux billes rouges parmi 5 rouges et 4 bleues ?

Sans remettre la première : 5/9 × 4/8 = 20/72 = 5/18, environ 27,8 %. En la remettant : 5/9 × 5/9 = 25/81, environ 30,9 %.

Quelle est la différence entre un tirage avec remise et sans remise ?

Avec remise, chaque tirage part du même vase : les tirages sont indépendants et les probabilités restent les mêmes. Sans remise, le vase change après chaque tirage : chaque probabilité dépend de ce qui a été tiré avant.

Pourquoi multiplie-t-on les probabilités dans un arbre pondéré ?

Parce que la deuxième probabilité est une part de la première. Sur l’ensemble des essais, 5/9 commencent par une bille rouge, et parmi ceux-ci, 4/8 continuent avec une deuxième rouge : la moitié de cinq neuvièmes, c’est 5/18.

L’ordre des tirages compte-t-il ?

Pas pour la probabilité d’une combinaison. Une rouge puis une bleue, ou une bleue puis une rouge : ces deux chemins ont la même probabilité de 20/72 (5/9 × 4/8 et 4/9 × 5/8), les mêmes nombres multipliés dans un autre ordre. Exactement une rouge est la somme des deux chemins : 40/72 = 5/9.

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Non. Tout est calculé et dessiné sur un canevas dans votre navigateur. Enregistrer télécharge un PNG. Modifier ouvre cette image dans l’éditeur PictorX.

Outils associés

Un vase en verre avec des billes rouges et bleues, deux billes rouges tirées et un arbre pondéré avec 5/9 × 4/8 = 5/18

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