关于从花瓶中摸弹珠 | 摸球模型与树状图

摸球模型

在概率论中，一个花瓶（或罐子）里装着数量已知、颜色不同的弹珠。你不看就摸出一颗或几颗，所以花瓶里剩下的每颗弹珠被摸到的机会都相同。雅各布·伯努利在 1700 年前后就使用了这个模型，从那以后它一直是标准例子：摇彩票号码球、发牌、为调查挑选受访者、检查一批产品有没有次品，都和从花瓶中摸弹珠一样。

不放回，一步一步来

取一个装有 5 颗红色和 4 颗蓝色弹珠的花瓶，共 9 颗，不放回地摸出两颗。第一颗是红色的概率是 5/9。如果它是红色，还剩 8 颗弹珠，其中 4 颗是红色，所以第二颗是红色的概率是 4/8 = 1/2。两颗都是红色的概率是 5/9 × 4/8 = 20/72 = 5/18 ≈ 27.8%。

树状图

树状图画出摸球的所有可能情况。从起点出发，一条分支通向红色，一条通向蓝色，每条都标上概率：5/9 和 4/9。从这两条分支各自再分出两条新分支，通向第二颗弹珠，标上摸完第一颗之后的概率：红色之后是 4/8 和 4/8，蓝色之后是 5/8 和 3/8。每条路径的末端是一片叶子。把一条路径上的概率相乘，就得到这条路径的概率：20/72、20/72、20/72 和 12/72。所有叶子合起来是 72/72 = 1。

路径相加与对立事件

当一个问题由几片叶子回答时，把它们的概率相加。恰好一颗红色：红蓝或蓝红，20/72 + 20/72 = 40/72 = 5/9。两颗同色：20/72 + 12/72 = 32/72 = 4/9。至少一颗红色就是除了蓝蓝以外的所有情况：1 − 12/72 = 60/72 = 5/6。用 1 减去对立事件的概率，也就是利用对立事件的概率公式，往往是最快的方法。

有放回摸球

如果每次摸下一颗之前都把弹珠放回去，花瓶每次都一样，各次摸球相互独立。这时两颗都是红色的概率是 5/9 × 5/9 = 25/81 ≈ 30.9%。不放回时概率更小，因为拿走一颗红色弹珠后，红色的就少了。在很大的花瓶里，这个差别几乎消失，所以从几百万人口的国家中调查 1,000 人时，可以把每个回答都看作相互独立。

用组合数计数

你也可以不画树状图，而是直接计数。从 9 颗弹珠中取两颗，共有 C(9, 2) = 36 种等可能的取法，其中 C(5, 2) = 10 种是两颗红色：10/36 = 5/18，答案相同。摸的次数更多时，计数比画树状图更快：不放回地摸 n 次，恰好摸到 k 颗红色弹珠的概率是 C(红色, k) × C(蓝色, n − k) / C(总数, n)，这就是超几何分布。

在 PictorX 中探索

打开“从花瓶中摸弹珠”，一个装有 5 颗红色和 4 颗蓝色弹珠的花瓶正等着你。点击它摸出一颗弹珠：弹珠从花瓶中升起，落进小碟，剩下的弹珠随之落定，提示信息会告诉你还剩什么、现在摸到红色的概率是多少。树状图会点亮你走过的分支，并在每片叶子上显示乘积；回答问题的叶子会加上阴影，它们的计算过程显示在树状图下方。每种颜色可选 1 到 10 颗弹珠，摸两次或三次，有放回或不放回，并从五个问题中选一个。“自动摸球”最多可摸 100,000 轮，每秒最多 10,000 轮，图表显示“是”的比例逐渐稳定在树状图算出的概率上。

常见问题

不放回是什么意思？

意思是摸出的弹珠在下一次摸球前不放回去。每摸一次，花瓶里就少一颗弹珠，概率也随之改变。

从 5 颗红色和 4 颗蓝色弹珠中摸出两颗红色的概率是多少？

不放回时是 5/9 × 4/8 = 20/72 = 5/18，约 27.8%。有放回时是 5/9 × 5/9 = 25/81，约 30.9%。

为什么树状图所有叶子的概率加起来等于 1？

因为每一轮都恰好结束在一片叶子上。从每个节点出发的分支加起来都等于 1，例如 4/8 + 4/8，所以沿路径相乘，就把总概率 1 分配给了所有叶子。

一次摸出两颗和一颗接一颗地摸一样吗？

一样。一把抓出两颗弹珠，和不放回地一颗接一颗摸出两颗，概率相同；只是你不知道哪一颗先出来。

摸球模型有什么用？

可用于从固定的一组对象中随机抽取的任何情形：彩票、纸牌游戏、质量检验、问卷调查和遗传学。由它得出的超几何分布也是统计学中费希尔精确检验的基础。

相关工具

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