Vazodan bilye çekme

Nasıl çalışır

Vazoya tıklayın: bir bilye çıkıp ilk kaseye düşer ve ağaç diyagramında onun dalı yanar.
İkinci bilye için yeniden tıklayın ve her renkten kaç bilye kaldığını, o anda kırmızı gelme olasılığının ne olduğunu okuyun.
1.000 tur çekmek için Otomatik çek düğmesine basın ve evet oranının 5/18 ≈ %27,8 düzeyine yerleşmesini izleyin.

Geri koymadan

Çıkardığınız her bilye dışarıda kalır. Vazo küçülür ve karışım değişir; bu yüzden ikinci bilyenin olasılığı ilkine bağlıdır. Kırmızıdan sonra kalan 8 bilyenin 4’ü kırmızıdır: 4/8. Maviden sonra 8 bilyenin 5’i kırmızıdır: 5/8. Çekilişler bağımlıdır ve ağaç diyagramının her dalındaki olasılık bir koşullu olasılıktır: önceden çekilen renkler bilindiğine göre bu rengin olasılığı.

Dallar boyunca çarpın

Ağaçtaki bir yolun olasılığı, o yolun dallarındaki olasılıkların çarpımıdır: önce kırmızı sonra yine kırmızı 5/9 × 4/8 = 20/72 eder. Bu, çarpma kuralıdır: P(A ve B) = P(A) × P(A verildiğinde B). Kırmızı-kırmızı, kırmızı-mavi, mavi-kırmızı ve mavi-mavi olmak üzere dört yolun olasılıkları sırasıyla 20/72, 20/72, 20/72 ve 12/72 olur; hepsi birlikte 72/72 = 1 eder, çünkü bunlardan biri mutlaka gerçekleşir.

Sayılan yolları toplayın

“İki bilye de aynı renk mi?” gibi bir sorunun yanıtı birden fazla yoldan gelir: kırmızı-kırmızı ve mavi-mavi. Bunların olasılıkları toplanır: 20/72 + 12/72 = 32/72 = 4/9. Yolların çoğu sayılıyorsa, sayılmayanları çıkarmak daha hızlıdır: en az bir kırmızı 1 − 12/72 = 60/72 = 5/6 olur. Uygulama her soru için hesabı gösterir.

Geri koyarak

Her bilyeyi geri koyarsanız vazo her çekilişte aynı kalır: ikisinin de kırmızı olma olasılığı o zaman 5/9 × 5/9 = 25/81 ≈ %30,9 olur, %27,8’den biraz fazla. Çekilişler bağımsızdır. Vazo ne kadar büyükse fark o kadar küçüktür: 10 kırmızı ve 10 mavi bilyeyle iki kırmızı, geri koymadan 9/38 ≈ %23,7, geri koyarak %25’tir. 2 kırmızı ve 2 mavi bilyeli küçük bir vazoda fark büyüktür: iki bilyenin aynı renk olması geri koymadan 1/3, geri koyarak 1/2 olasılıklıdır.

Sık sorulan sorular

5 kırmızı ve 4 mavi bilyeden iki kırmızı çekme olasılığı nedir?

İlkini geri koymadan: 5/9 × 4/8 = 20/72 = 5/18, yani yaklaşık %27,8. Geri koyarak: 5/9 × 5/9 = 25/81, yani yaklaşık %30,9.

Geri koyarak ve geri koymadan çekme arasındaki fark nedir?

Geri koyarak çekmede her çekiliş aynı vazodan başlar; bu yüzden çekilişler bağımsızdır ve olasılıklar aynı kalır. Geri koymadan çekmede vazo her çekilişten sonra değişir; bu yüzden her olasılık daha önce ne çekildiğine bağlıdır.

Ağaç diyagramında olasılıklar neden çarpılır?

Çünkü ikinci olasılık, ilkinin bir payıdır. Tüm turlar içinde kırmızı bilyeyle başlayanların payı 5/9 olur; bunlar içinde ikinci bilyesi de kırmızı olanların payı 4/8 olur: dokuzda beşin yarısı 5/18 eder.

Çekilişlerin sırası önemli mi?

Bir kombinasyonun olasılığı için önemli değil. Önce kırmızı sonra mavi ile önce mavi sonra kırmızının ikisinin de olasılığı 20/72’dir (5/9 × 4/8 ve 4/9 × 5/8): aynı sayılar, farklı sırayla çarpılmış. Tam olarak bir kırmızı, iki yolun toplamıdır: 40/72 = 5/9.

Bir şey yüklenir mi?

Hayır. Her şey tarayıcınızdaki bir tuvalde hesaplanır ve çizilir. Kaydet bir PNG indirir. Düzenle o görüntüyü PictorX düzenleyicisinde açar.

İlgili araçlar

Kırmızı ve mavi bilyelerle dolu cam bir vazo, çekilmiş iki kırmızı bilye ve 5/9 × 4/8 = 5/18 gösteren bir ağaç diyagramı

Vazodan bilye çekme ve olasılık

Vazodan bilye çekme açıklandı: geri koymadan ve geri koyarak çekme, ağaç diyagramı, çarpma kuralı, yolları toplama, tümleyen kuralı, kombinasyonlarla sayma ve torba modelinin nerelerde kullanıldığı.

Doğum günü paradoksu

23 kişilik bir grupta ikisinin doğum gününün aynı olma olasılığı %50,7’dir; 57 kişide bu olasılık %99’a çıkar. 253 çiftin hepsini, takvimi ve eğriyi görün ve tarayıcınızda binlerce rastgele grubu test edin.

Zar atma

Bir, iki ya da üç zarı bin kez atın ve her sonucun ne sıklıkla geldiğini gösteren çubuk grafiği beklenen sıklıklarla karşılaştırın. 7’nin neden en sık gelen toplam olduğunu görün.

Monty Hall problemi

Monty Hall problemini deneyin: üç kapıdan birini seçin, Monty’nin arkasında keçi olan bir kapıyı açmasını izleyin, sonra kalın ya da değiştirin. Kendiniz oynayın ya da bilgisayara 1.000 oyun oynatın ve değiştirmenin üç oyunun ikisinde kazandığını görün.