Berlindes de um vaso

Como funciona

Clique no vaso: sai um berlinde, que cai na primeira taça, e o diagrama de árvore ilumina o seu ramo.
Clique outra vez para o segundo berlinde, e veja quantos restavam de cada cor e qual era então a probabilidade de sair vermelho.
Prima Tirar automaticamente para fazer 1000 rondas e veja a proporção de «sim» estabilizar em 5/18 ≈ 27,8%.

Sem reposição

Cada berlinde que tira fica de fora. O vaso fica mais pequeno e a sua composição muda, por isso a probabilidade do segundo berlinde depende do primeiro. Depois de um vermelho, 4 dos 8 berlindes restantes são vermelhos: 4/8. Depois de um azul, 5 dos 8 são vermelhos: 5/8. As extrações são dependentes, e a probabilidade em cada ramo do diagrama de árvore é uma probabilidade condicional: a probabilidade desta cor, dadas as cores já tiradas.

Multiplicar ao longo dos ramos

A probabilidade de um caminho na árvore é o produto das probabilidades dos seus ramos: vermelho e depois vermelho dá 5/9 × 4/8 = 20/72. É a regra do produto: P(A e B) = P(A) × P(B dado A). Os quatro caminhos vermelho-vermelho, vermelho-azul, azul-vermelho e azul-azul têm probabilidades 20/72, 20/72, 20/72 e 12/72, e juntos dão 72/72 = 1, porque um deles acontece sempre.

Somar os caminhos que contam

Uma pergunta como «os dois berlindes são da mesma cor?» é respondida por mais de um caminho: vermelho-vermelho e azul-azul. As suas probabilidades somam-se: 20/72 + 12/72 = 32/72 = 4/9. Quando contam quase todos os caminhos, é mais rápido subtrair os que não contam: pelo menos um vermelho é 1 − 12/72 = 60/72 = 5/6. A aplicação mostra o cálculo para cada pergunta.

Com reposição

Reponha cada berlinde e o vaso é o mesmo em todas as extrações: a probabilidade de ambos serem vermelhos é então 5/9 × 5/9 = 25/81 ≈ 30,9%, um pouco mais do que 27,8%. As extrações são independentes. Quanto maior o vaso, menor a diferença: com 10 vermelhos e 10 azuis, a probabilidade de dois vermelhos é 9/38 ≈ 23,7% sem reposição e 25% com reposição. Num vaso pequeno com 2 vermelhos e 2 azuis a diferença é grande: a probabilidade de dois da mesma cor é 1/3 sem reposição e 1/2 com reposição.

Perguntas frequentes

Qual é a probabilidade de tirar dois berlindes vermelhos de 5 vermelhos e 4 azuis?

Sem repor o primeiro: 5/9 × 4/8 = 20/72 = 5/18, cerca de 27,8%. Repondo-o: 5/9 × 5/9 = 25/81, cerca de 30,9%.

Qual é a diferença entre extração com e sem reposição?

Com reposição, cada extração parte do mesmo vaso, por isso as extrações são independentes e as probabilidades mantêm-se. Sem reposição, o vaso muda depois de cada extração, por isso cada probabilidade depende do que saiu antes.

Porque é que se multiplicam as probabilidades num diagrama de árvore?

Porque a segunda probabilidade é uma fração da primeira. De todas as rondas, 5/9 começam com um berlinde vermelho, e dessas, 4/8 continuam com um segundo vermelho: metade de cinco nonos é 5/18.

A ordem das extrações importa?

Não para a probabilidade de uma combinação. Vermelho e depois azul, e azul e depois vermelho, têm ambos probabilidade 20/72 (5/9 × 4/8 e 4/9 × 5/8): os mesmos números, multiplicados por outra ordem. Exatamente um vermelho é a soma dos dois caminhos: 40/72 = 5/9.

Isto envia alguma coisa?

Não. Tudo é calculado e desenhado numa tela no seu navegador. Guardar transfere um PNG. Editar abre essa imagem no editor do PictorX.