Canicas de un jarrón
Un jarrón contiene 5 canicas rojas y 4 azules, como la urna de los problemas de probabilidad. Sacas dos sin mirar, una tras otra, y no devuelves la primera. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos sean rojas? La primera es roja con probabilidad 5/9. Entonces quedan 8 canicas, 4 de ellas rojas, así que la segunda es roja con probabilidad 4/8. En total: 5/9 × 4/8 = 20/72 = 5/18, alrededor del 27,8 %. Haz clic en el jarrón para sacar una canica sin mirar. Sin reposición, cada canica que sacas cambia lo que queda, así que también cambia la probabilidad del siguiente color. El diagrama de árbol muestra todas las formas en que pueden salir las extracciones: multiplica las probabilidades a lo largo de un camino y suma los caminos que responden sí a la pregunta. Pulsa Sacar automáticamente para hacer 1000 rondas y mira cómo la proporción de «sí» se estabiliza en la probabilidad del árbol.
como funciona
- Haz clic en el jarrón: sale una canica y cae en el primer cuenco, y el diagrama de árbol ilumina su rama.
- Vuelve a hacer clic para la segunda canica, y lee cuántas quedaban de cada color y cuál era entonces la probabilidad de sacar roja.
- Pulsa Sacar automáticamente para hacer 1000 rondas y mira cómo la proporción de «sí» se estabiliza en 5/18 ≈ 27,8 %.
Sin reposición
Cada canica que sacas se queda fuera. El jarrón se vacía y su mezcla cambia, así que la probabilidad de la segunda canica depende de la primera. Tras una roja, 4 de las 8 canicas que quedan son rojas: 4/8. Tras una azul, 5 de las 8 son rojas: 5/8. Las extracciones son dependientes, y la probabilidad de cada rama del diagrama de árbol es una probabilidad condicionada: la probabilidad de ese color dados los colores ya extraídos.
Multiplica a lo largo de las ramas
La probabilidad de un camino del árbol es el producto de las probabilidades de sus ramas: roja y después roja es 5/9 × 4/8 = 20/72. Es la regla del producto: P(A y B) = P(A) × P(B dado A). Los cuatro caminos roja-roja, roja-azul, azul-roja y azul-azul tienen probabilidades 20/72, 20/72, 20/72 y 12/72, y juntos suman 72/72 = 1, porque siempre ocurre uno de ellos.
Suma los caminos que cuentan
Una pregunta como «¿son del mismo color las dos canicas?» se responde con más de un camino: roja-roja y azul-azul. Sus probabilidades se suman: 20/72 + 12/72 = 32/72 = 4/9. Cuando cuentan casi todos los caminos, es más rápido restar los que no cuentan: al menos una roja es 1 − 12/72 = 60/72 = 5/6. La aplicación muestra el cálculo de cada pregunta.
Con reposición
Si devuelves cada canica, el jarrón es el mismo en cada extracción: dos rojas tienen entonces probabilidad 5/9 × 5/9 = 25/81 ≈ 30,9 %, algo más que el 27,8 %. Las extracciones son independientes. Cuanto más grande es el jarrón, menor es la diferencia: con 10 rojas y 10 azules, la probabilidad de dos rojas es 9/38 ≈ 23,7 % sin reposición y del 25 % con reposición. En un jarrón pequeño de 2 rojas y 2 azules la diferencia es grande: la probabilidad de dos del mismo color es 1/3 sin reposición y 1/2 con reposición.
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la probabilidad de sacar dos canicas rojas de 5 rojas y 4 azules?
Sin devolver la primera: 5/9 × 4/8 = 20/72 = 5/18, alrededor del 27,8 %. Devolviéndola: 5/9 × 5/9 = 25/81, alrededor del 30,9 %.
¿Qué diferencia hay entre extracción con y sin reposición?
Con reposición, cada extracción parte del mismo jarrón, así que las extracciones son independientes y las probabilidades no cambian. Sin reposición, el jarrón cambia después de cada extracción, así que cada probabilidad depende de lo que se sacó antes.
¿Por qué se multiplican las probabilidades en un diagrama de árbol?
Porque la segunda probabilidad es una fracción de la primera. De todas las rondas, 5/9 empiezan con una canica roja, y de ellas, 4/8 siguen con una segunda roja: la mitad de cinco novenos es 5/18.
¿Importa el orden de las extracciones?
No para la probabilidad de una combinación. Roja y luego azul, y azul y luego roja, tienen ambas probabilidad 20/72 (5/9 × 4/8 y 4/9 × 5/8): los mismos números, multiplicados en otro orden. Exactamente una roja es la suma de los dos caminos: 40/72 = 5/9.
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