Kulor ur en vas

Hur det fungerar

Klicka på vasen: en kula kommer ut och landar i den första skålen, och dess gren lyser upp i träddiagrammet.
Klicka igen för den andra kulan och läs hur många av varje färg som var kvar och vad sannolikheten för röd var då.
Tryck på Dra automatiskt för att dra 1 000 omgångar och se andelen ja stabilisera sig vid 5/18 ≈ 27,8 %.

Utan återläggning

Varje kula du tar ut stannar utanför. Vasen blir mindre och blandningen ändras, så sannolikheten för den andra kulan beror på den första. Efter en röd är 4 av de 8 kvarvarande kulorna röda: 4/8. Efter en blå är 5 av de 8 röda: 5/8. Dragningarna är beroende, och sannolikheten på varje gren i träddiagrammet är en betingad sannolikhet: sannolikheten för den här färgen, givet de färger som redan dragits.

Multiplicera längs grenarna

Sannolikheten för en väg genom trädet är produkten av sannolikheterna på dess grenar: röd och sedan röd är 5/9 × 4/8 = 20/72. Det är multiplikationsregeln: P(A och B) = P(A) × P(B givet A). De fyra vägarna röd-röd, röd-blå, blå-röd och blå-blå har sannolikheterna 20/72, 20/72, 20/72 och 12/72, och tillsammans blir de 72/72 = 1, eftersom en av dem alltid inträffar.

Lägg ihop vägarna som räknas

En fråga som ”har båda kulorna samma färg?” besvaras av mer än en väg: röd-röd och blå-blå. Deras sannolikheter adderas: 20/72 + 12/72 = 32/72 = 4/9. När de flesta vägar räknas går det snabbare att dra ifrån dem som inte gör det: minst en röd är 1 − 12/72 = 60/72 = 5/6. Appen visar uträkningen för varje fråga.

Med återläggning

Lägg tillbaka varje kula, så är vasen densamma vid varje dragning: båda röda är då 5/9 × 5/9 = 25/81 ≈ 30,9 %, lite mer än 27,8 %. Dragningarna är oberoende. Ju större vas, desto mindre skillnad: med 10 röda och 10 blå är två röda 9/38 ≈ 23,7 % utan återläggning och 25 % med. I en liten vas med 2 röda och 2 blå är skillnaden stor: två av samma färg är 1/3 utan återläggning och 1/2 med.

Ofta ställda frågor

Hur stor är sannolikheten att dra två röda kulor av 5 röda och 4 blå?

Utan att lägga tillbaka den första: 5/9 × 4/8 = 20/72 = 5/18, ungefär 27,8 %. Med återläggning: 5/9 × 5/9 = 25/81, ungefär 30,9 %.

Vad är skillnaden mellan med och utan återläggning?

Med återläggning börjar varje dragning från samma vas, så dragningarna är oberoende och sannolikheterna förblir desamma. Utan återläggning ändras vasen efter varje dragning, så varje sannolikhet beror på vad som drogs tidigare.

Varför multiplicerar man sannolikheterna i ett träddiagram?

Eftersom den andra sannolikheten är en andel av den första. Av alla omgångar börjar 5/9 med en röd kula, och av dem fortsätter 4/8 med en andra röd: hälften av fem niondelar är 5/18.

Spelar ordningen på dragningarna någon roll?

Inte för sannolikheten för en kombination. Röd sedan blå och blå sedan röd har båda sannolikheten 20/72 (5/9 × 4/8 och 4/9 × 5/8): samma tal, multiplicerade i en annan ordning. Exakt en röd är summan av båda vägarna: 40/72 = 5/9.

Laddas något upp?

Nej. Allt beräknas och ritas på en canvas i webbläsaren. Spara laddar ner en PNG. Redigera öppnar bilden i PictorX-redigeraren.