Шарики из вазы

Как это работает

Нажмите на вазу: шарик вылетает и падает в первую мисочку, а на дереве вероятностей подсвечивается его ветвь.
Нажмите ещё раз, чтобы вынуть второй шарик, и прочитайте, сколько шариков каждого цвета оставалось и какой тогда была вероятность красного.
Нажмите «Вынимать автоматически», чтобы провести 1000 раундов, и смотрите, как доля ответов «да» приближается к 5/18 ≈ 27,8 %.

Без возвращения

Каждый вынутый шарик в вазу уже не возвращается. Шариков в ней становится меньше, и их состав меняется, поэтому вероятность для второго шарика зависит от первого. После красного среди 8 оставшихся шариков 4 красных: 4/8. После синего красных среди 8 оставшихся 5: 5/8. Извлечения зависимы, и вероятность на каждой ветви дерева — условная вероятность: вероятность этого цвета при условии, что уже вынуты такие-то цвета.

Перемножайте вдоль ветвей

Вероятность одного пути по дереву равна произведению вероятностей на его ветвях: красный, а затем снова красный — это 5/9 × 4/8 = 20/72. Это правило умножения: P(A и B) = P(A) × P(B при условии A). Четыре пути красный-красный, красный-синий, синий-красный и синий-синий имеют вероятности 20/72, 20/72, 20/72 и 12/72, а вместе дают 72/72 = 1, потому что один из них происходит всегда.

Сложите нужные пути

На вопрос вроде «оба шарика одного цвета?» отвечает больше одного пути: красный-красный и синий-синий. Их вероятности складываются: 20/72 + 12/72 = 32/72 = 4/9. Если подходит большинство путей, быстрее вычесть неподходящие: хотя бы один красный — это 1 − 12/72 = 60/72 = 5/6. Приложение показывает вычисление для каждого вопроса.

С возвращением

Если возвращать каждый шарик, ваза при каждом извлечении одна и та же: вероятность, что оба шарика красные, тогда равна 5/9 × 5/9 = 25/81 ≈ 30,9 %, чуть больше, чем 27,8 %. Извлечения независимы. Чем больше ваза, тем меньше разница: при 10 красных и 10 синих два красных выпадают с вероятностью 9/38 ≈ 23,7 % без возвращения и 25 % с возвращением. В маленькой вазе с 2 красными и 2 синими разница велика: два шарика одного цвета — это 1/3 без возвращения и 1/2 с возвращением.

Часто задаваемые вопросы

Какова вероятность вынуть два красных шарика, если в вазе 5 красных и 4 синих?

Если не возвращать первый шарик: 5/9 × 4/8 = 20/72 = 5/18, около 27,8 %. Если возвращать: 5/9 × 5/9 = 25/81, около 30,9 %.

Чем выбор с возвращением отличается от выбора без возвращения?

При выборе с возвращением каждое извлечение начинается с той же самой вазы, поэтому извлечения независимы и вероятности не меняются. Без возвращения ваза меняется после каждого извлечения, поэтому каждая вероятность зависит от того, что было вынуто раньше.

Почему на дереве вероятностей вероятности перемножают?

Потому что вторая вероятность — это доля от первой. Из всех раундов 5/9 начинаются с красного шарика, и из них 4/8 продолжаются вторым красным: половина от пяти девятых — это 5/18.

Важен ли порядок извлечения?

Для вероятности сочетания цветов — нет. «Красный, затем синий» и «синий, затем красный» имеют одну и ту же вероятность 20/72 (5/9 × 4/8 и 4/9 × 5/8): те же числа, перемноженные в другом порядке. Ровно один красный — это сумма обоих путей: 40/72 = 5/9.

Что-нибудь загружается?

Нет. Всё вычисляется и рисуется на холсте в браузере. Кнопка «Сохранить» скачивает PNG. Кнопка «Редактировать» открывает это изображение в редакторе PictorX.

Сопутствующие инструменты

Стеклянная ваза с красными и синими шариками, два вынутых красных шарика и дерево вероятностей с 5/9 × 4/8 = 5/18

Извлечение шариков из вазы

Извлечение шариков из вазы простыми словами: выбор без возвращения и с возвращением, дерево вероятностей, правило умножения, сложение путей, вероятность противоположного события, подсчёт через сочетания и где применяется урновая схема.

Парадокс дней рождения

В группе из 23 человек вероятность того, что у двоих совпадут дни рождения, равна 50,7 %, а в группе из 57 человек — 99 %. Посмотрите на все 253 пары, календарь и кривую и проверьте тысячи случайных групп прямо в браузере.

Броски кубиков

Бросьте один, два или три кубика тысячу раз и сравните столбчатую диаграмму того, как часто выпадал каждый результат, с ожидаемыми частотами. Узнайте, почему 7 — самая частая сумма.

Парадокс Монти Холла

Парадокс Монти Холла на практике: выберите одну из трёх дверей, посмотрите, как Монти открывает другую, с козой, и решите, остаться или сменить. Играйте сами или дайте компьютеру сыграть 1000 игр и убедитесь, что смена выигрывает в двух случаях из трёх.