Bile dintr-o vază

Cum funcţionează

Dă clic pe vază: o bilă iese și ajunge în primul bol, iar ramura ei se aprinde în arborele de probabilități.
Dă clic din nou pentru a doua bilă și citește câte bile de fiecare culoare mai rămăseseră și care era atunci șansa de a ieși roșie.
Apasă Extrage automat ca să extragi 1.000 de runde și urmărește cum ponderea răspunsurilor „da” se stabilizează la 5/18 ≈ 27,8%.

Fără revenire

Fiecare bilă scoasă rămâne afară. Vaza se micșorează și amestecul se schimbă, așa că șansa celei de-a doua bile depinde de prima. După una roșie, 4 dintre cele 8 bile rămase sunt roșii: 4/8. După una albastră, 5 dintre cele 8 sunt roșii: 5/8. Extragerile sunt dependente, iar probabilitatea de pe fiecare ramură a arborelui este o probabilitate condiționată: probabilitatea acestei culori, știind culorile deja extrase.

Înmulțește de-a lungul ramurilor

Probabilitatea unui drum prin arbore este produsul probabilităților de pe ramurile lui: roșie și apoi roșie înseamnă 5/9 × 4/8 = 20/72. Aceasta este regula înmulțirii: P(A și B) = P(A) × P(B condiționat de A). Cele patru drumuri roșie-roșie, roșie-albastră, albastră-roșie și albastră-albastră au probabilitățile 20/72, 20/72, 20/72 și 12/72 și împreună dau 72/72 = 1, pentru că unul dintre ele se întâmplă mereu.

Adună drumurile care contează

La o întrebare precum „au ambele bile aceeași culoare?” răspund mai multe drumuri: roșie-roșie și albastră-albastră. Probabilitățile lor se adună: 20/72 + 12/72 = 32/72 = 4/9. Când contează majoritatea drumurilor, e mai rapid să le scazi pe cele care nu contează: cel puțin una roșie înseamnă 1 − 12/72 = 60/72 = 5/6. Aplicația arată calculul pentru fiecare întrebare.

Cu revenire

Dacă pui fiecare bilă înapoi, vaza este aceeași la fiecare extragere: ambele roșii au atunci probabilitatea 5/9 × 5/9 = 25/81 ≈ 30,9%, puțin mai mult decât 27,8%. Extragerile sunt independente. Cu cât vaza e mai mare, cu atât diferența e mai mică: cu 10 roșii și 10 albastre, două roșii au probabilitatea 9/38 ≈ 23,7% fără revenire și 25% cu revenire. Într-o vază mică, cu 2 roșii și 2 albastre, diferența e mare: două de aceeași culoare au probabilitatea 1/3 fără revenire și 1/2 cu revenire.

Întrebări frecvente

Care este probabilitatea de a extrage două bile roșii din 5 roșii și 4 albastre?

Fără a o pune înapoi pe prima: 5/9 × 4/8 = 20/72 = 5/18, aproximativ 27,8%. Punând-o înapoi: 5/9 × 5/9 = 25/81, aproximativ 30,9%.

Care este diferența dintre extragerea cu revenire și cea fără revenire?

Cu revenire, fiecare extragere pornește de la aceeași vază, deci extragerile sunt independente și probabilitățile rămân aceleași. Fără revenire, vaza se schimbă după fiecare extragere, deci fiecare probabilitate depinde de ce s-a extras înainte.

De ce se înmulțesc probabilitățile într-un arbore de probabilități?

Pentru că a doua probabilitate este o parte din prima. Din toate rundele, 5/9 încep cu o bilă roșie, iar dintre acestea, 4/8 continuă cu încă una roșie: jumătate din cinci noimi înseamnă 5/18.

Contează ordinea extragerilor?

Nu pentru probabilitatea unei combinații. Roșie apoi albastră și albastră apoi roșie au amândouă probabilitatea 20/72 (5/9 × 4/8 și 4/9 × 5/8): aceleași numere, înmulțite în altă ordine. Exact una roșie este suma ambelor drumuri: 40/72 = 5/9.

Se încarcă ceva?

Nu. Totul este calculat și desenat pe o pânză în browser. Butonul Salvează descarcă un PNG, iar Editează deschide imaginea în editorul PictorX.