Kulki z wazonu

Jak to działa

Kliknij wazon: wypada z niego kulka i ląduje w pierwszej miseczce, a na drzewie stochastycznym podświetla się jej gałąź.
Kliknij ponownie, aby wylosować drugą kulkę, i odczytaj, ile kulek każdego koloru zostało i jaka była wtedy szansa na czerwoną.
Naciśnij Losuj automatycznie, aby rozegrać 1000 rund, i patrz, jak odsetek odpowiedzi „tak” ustala się na poziomie 5/18 ≈ 27,8%.

Bez zwracania

Każda wyjęta kulka zostaje poza wazonem. Kulek ubywa, a ich skład się zmienia, więc szansa dla drugiej kulki zależy od pierwszej. Po czerwonej 4 z 8 pozostałych kulek są czerwone: 4/8. Po niebieskiej czerwonych jest 5 z 8: 5/8. Losowania są zależne, a prawdopodobieństwo na każdej gałęzi drzewa jest prawdopodobieństwem warunkowym: szansą na ten kolor pod warunkiem, że wcześniej wylosowano już określone kolory.

Mnóż wzdłuż gałęzi

Prawdopodobieństwo jednej ścieżki przez drzewo to iloczyn prawdopodobieństw na jej gałęziach: czerwona, a potem czerwona to 5/9 × 4/8 = 20/72. To reguła mnożenia: P(A i B) = P(A) × P(B pod warunkiem A). Cztery ścieżki czerwona-czerwona, czerwona-niebieska, niebieska-czerwona i niebieska-niebieska mają prawdopodobieństwa 20/72, 20/72, 20/72 i 12/72, a razem dają 72/72 = 1, bo jedna z nich zawsze zachodzi.

Dodaj ścieżki, które się liczą

Na pytanie takie jak „czy obie kulki mają ten sam kolor?” odpowiada więcej niż jedna ścieżka: czerwona-czerwona i niebieska-niebieska. Ich prawdopodobieństwa się dodaje: 20/72 + 12/72 = 32/72 = 4/9. Gdy liczy się większość ścieżek, szybciej jest odjąć te, które się nie liczą: co najmniej jedna czerwona to 1 − 12/72 = 60/72 = 5/6. Aplikacja pokazuje obliczenia dla każdego pytania.

Ze zwracaniem

Gdy każda kulka wraca do wazonu, wazon jest taki sam przy każdym losowaniu: dwie czerwone mają wtedy prawdopodobieństwo 5/9 × 5/9 = 25/81 ≈ 30,9%, trochę więcej niż 27,8%. Losowania są niezależne. Im większy wazon, tym mniejsza różnica: przy 10 czerwonych i 10 niebieskich dwie czerwone to 9/38 ≈ 23,7% bez zwracania i 25% ze zwracaniem. W małym wazonie z 2 czerwonymi i 2 niebieskimi różnica jest duża: dwie w tym samym kolorze to 1/3 bez zwracania i 1/2 ze zwracaniem.

Często zadawane pytania

Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania dwóch czerwonych kulek spośród 5 czerwonych i 4 niebieskich?

Bez zwracania pierwszej: 5/9 × 4/8 = 20/72 = 5/18, czyli około 27,8%. Ze zwracaniem: 5/9 × 5/9 = 25/81, czyli około 30,9%.

Czym różni się losowanie ze zwracaniem od losowania bez zwracania?

Przy losowaniu ze zwracaniem każde losowanie zaczyna się od tego samego wazonu, więc losowania są niezależne, a prawdopodobieństwa się nie zmieniają. Bez zwracania wazon zmienia się po każdym losowaniu, więc każde prawdopodobieństwo zależy od tego, co wylosowano wcześniej.

Dlaczego na drzewie stochastycznym mnoży się prawdopodobieństwa?

Bo drugie prawdopodobieństwo jest częścią pierwszego. Spośród wszystkich rund 5/9 zaczyna się od czerwonej kulki, a spośród nich 4/8 ma też drugą czerwoną: połowa z pięciu dziewiątych to 5/18.

Czy kolejność losowań ma znaczenie?

Nie dla prawdopodobieństwa danego zestawu kolorów. Czerwona, potem niebieska oraz niebieska, potem czerwona mają to samo prawdopodobieństwo 20/72 (5/9 × 4/8 i 4/9 × 5/8): te same liczby, mnożone w innej kolejności. Dokładnie jedna czerwona to suma obu ścieżek: 40/72 = 5/9.

Czy coś jest wysyłane?

Nie. Wszystko jest obliczane i rysowane na płótnie w przeglądarce. Przycisk Zapisz pobiera PNG. Edytuj otwiera ten obraz w edytorze PictorX.

Powiązane narzędzia

Szklany wazon z czerwonymi i niebieskimi kulkami, dwie wylosowane czerwone kulki i drzewo stochastyczne z 5/9 × 4/8 = 5/18

Losowanie kulek z wazonu

Losowanie kulek z wazonu wyjaśnione: bez zwracania i ze zwracaniem, drzewo stochastyczne, reguła mnożenia, dodawanie ścieżek, zdarzenie przeciwne, liczenie za pomocą kombinacji i zastosowania modelu urnowego.

Paradoks dnia urodzin

W grupie 23 osób prawdopodobieństwo, że dwie mają urodziny tego samego dnia, wynosi 50,7%, a przy 57 osobach – 99%. Zobacz wszystkie 253 pary, kalendarz i krzywą oraz przetestuj tysiące losowych grup w przeglądarce.

Rzucanie kośćmi

Rzuć jedną, dwiema lub trzema kośćmi tysiąc razy i porównaj wykres słupkowy pokazujący, jak często wypadał każdy wynik, z oczekiwanymi częstościami. Zobacz, dlaczego 7 to najczęstsza suma.

Paradoks Monty’ego Halla

Paradoks Monty’ego Halla do sprawdzenia: wybierz jedne z trojga drzwi, patrz, jak Monty otwiera inne z kozą, a potem zostań albo zmień. Graj samodzielnie albo pozwól komputerowi rozegrać 1000 gier i zobacz, że zmiana wygrywa w dwóch przypadkach na trzy.