Knikkers uit een vaas
In een vaas zitten 5 rode en 4 blauwe knikkers. Je pakt er zonder te kijken twee, na elkaar, en je legt de eerste niet terug. Wat is de kans dat ze allebei rood zijn? De eerste is rood met kans 5/9. Dan zijn er nog 8 knikkers over, waarvan 4 rode, dus de tweede is rood met kans 4/8. Samen: 5/9 × 4/8 = 20/72 = 5/18, ongeveer 27,8%. Klik op de vaas om zonder te kijken een knikker te pakken. Zonder terugleggen verandert elke knikker die je eruit haalt wat er overblijft, en dus ook de kans op de volgende kleur. Het boomdiagram toont alle manieren waarop het trekken kan lopen: vermenigvuldig de kansen langs een tak en tel de takken op die de vraag met ja beantwoorden. Druk op Automatisch trekken om 1.000 rondes te trekken en zie het aandeel ja naar de kans uit de boom gaan.
Hoe het werkt
- Klik op de vaas: er komt een knikker uit die in het eerste schaaltje belandt, en het boomdiagram licht zijn tak op.
- Klik nog eens voor de tweede knikker, en lees hoeveel er van elke kleur over waren en wat de kans op rood toen was.
- Druk op Automatisch trekken om 1.000 rondes te trekken en zie het aandeel ja naar 5/18 ≈ 27,8% gaan.
Zonder terugleggen
Elke knikker die je pakt, blijft eruit. De vaas wordt kleiner en de verhouding verandert, dus de kans bij de tweede knikker hangt af van de eerste. Na een rode zijn 4 van de 8 overgebleven knikkers rood: 4/8. Na een blauwe zijn 5 van de 8 rood: 5/8. De trekkingen zijn afhankelijk, en de kans op elke tak van het boomdiagram is een voorwaardelijke kans: de kans op deze kleur, gegeven de kleuren die al getrokken zijn.
Vermenigvuldig langs de takken
De kans op één pad door de boom is het product van de kansen op zijn takken: eerst rood en dan rood is 5/9 × 4/8 = 20/72. Dat is de productregel: P(A en B) = P(A) × P(B gegeven A). De vier paden rood-rood, rood-blauw, blauw-rood en blauw-blauw hebben kansen 20/72, 20/72, 20/72 en 12/72, en samen is dat 72/72 = 1, omdat er altijd precies één van gebeurt.
Tel de paden op die meetellen
Een vraag als ‘hebben ze allebei dezelfde kleur?’ wordt door meer dan één pad beantwoord: rood-rood en blauw-blauw. Hun kansen tel je op: 20/72 + 12/72 = 32/72 = 4/9. Tellen de meeste paden mee, dan is het sneller om de paden af te trekken die niet meetellen: minstens één rode is 1 − 12/72 = 60/72 = 5/6. De app laat bij elke vraag de berekening zien.
Met terugleggen
Leg je elke knikker terug, dan is de vaas bij elke trekking hetzelfde: allebei rood is dan 5/9 × 5/9 = 25/81 ≈ 30,9%, iets meer dan 27,8%. De trekkingen zijn onafhankelijk. Hoe groter de vaas, hoe kleiner het verschil: met 10 rode en 10 blauwe is twee rode 9/38 ≈ 23,7% zonder terugleggen en 25% met terugleggen. In een kleine vaas met 2 rode en 2 blauwe is het verschil groot: twee van dezelfde kleur is 1/3 zonder terugleggen en 1/2 met terugleggen.
Veelgestelde vragen
Wat is de kans op twee rode knikkers uit 5 rode en 4 blauwe?
Zonder de eerste terug te leggen: 5/9 × 4/8 = 20/72 = 5/18, ongeveer 27,8%. Met terugleggen: 5/9 × 5/9 = 25/81, ongeveer 30,9%.
Wat is het verschil tussen met en zonder terugleggen?
Met terugleggen begint elke trekking met dezelfde vaas, dus de trekkingen zijn onafhankelijk en de kansen blijven gelijk. Zonder terugleggen verandert de vaas na elke trekking, dus elke kans hangt af van wat er eerder getrokken is.
Waarom vermenigvuldig je de kansen in een boomdiagram?
Omdat de tweede kans een deel van de eerste is. Van alle rondes begint 5/9 met een rode knikker, en daarvan gaat 4/8 verder met een tweede rode: de helft van vijf negende is 5/18.
Maakt de volgorde van de trekkingen uit?
Niet voor de kans op een combinatie. Eerst rood dan blauw en eerst blauw dan rood hebben allebei kans 20/72 (5/9 × 4/8 en 4/9 × 5/8): dezelfde getallen, in een andere volgorde vermenigvuldigd. Precies één rode is de som van beide paden: 40/72 = 5/9.
Wordt er iets geüpload?
Nee. Alles wordt in je browser berekend en op een canvas getekend. Opslaan downloadt een PNG. Bewerken opent die afbeelding in de PictorX-editor.
Gerelateerde gereedschappen
Knikkers trekken uit een vaas
Knikkers trekken uit een vaas uitgelegd: zonder en met terugleggen, het boomdiagram, de productregel, paden optellen, de complementregel, tellen met combinaties en waar het vaasmodel wordt gebruikt.
De verjaardagenparadox
In een groep van 23 mensen is de kans dat er twee op dezelfde dag jarig zijn 50,7%, en bij 57 mensen 99%. Zie alle 253 koppels, de kalender en de curve, en test duizenden willekeurige groepen in je browser.
Dobbelstenen gooien
Gooi een, twee of drie dobbelstenen duizend keer en vergelijk het staafdiagram van hoe vaak elke uitkomst viel met de verwachte frequenties. Ontdek waarom 7 de meest voorkomende som is.
Het Monty Hall-probleem
Het Monty Hall-probleem om zelf te proberen: kies een van drie deuren, zie Monty er een met een geit openen, en blijf of wissel. Speel zelf of laat de computer 1.000 spellen spelen en zie dat wisselen twee van de drie keer wint.
Galtonbord
Laat ballen door rijen pinnen vallen en zie hoe een klokkromme de vakjes vult. Verander de rijen, de neiging en het aantal ballen, en vergelijk gemiddelde en spreiding met de theorie.
Gokkersdenkfout
Gooi een eerlijke munt 100 keer per seconde op en zie wat er komt na elke reeks van 5 of 8 keer kop op rij. Het blijft 50/50: de munt heeft geen geheugen.
Kaarten tellen met Hi-Lo
Leer kaarten tellen met Hi-Lo aan een blackjacktafel in je browser: +1, 0 of −1 voor elke kaart, de Running Count, de True Count en de inzet. Oefen het tellen, tel een deck door, of speel een miljoen rondes.
Monte-Carlo-π
Gooi duizenden willekeurige pijltjes naar een vierkant met een cirkel erin en zie hoe het deel dat erbinnen landt π wordt. Start, stop en volg hoe de schatting convergeert.
Klaar om het te proberen?
Open PictorX in uw browser - geen installatie, geen creditcard vereist om te starten.
Ga naar Editor