फूलदान से कंचे

यह कैसे काम करता है

फूलदान पर क्लिक करें: एक कंचा बाहर निकलकर पहली कटोरी में गिरता है, और वृक्ष आरेख में उसकी शाखा चमक उठती है।
दूसरे कंचे के लिए फिर क्लिक करें, और पढ़ें कि हर रंग के कितने कंचे बचे थे और तब लाल की प्रायिकता क्या थी।
1,000 दौर चलाने के लिए “अपने-आप निकालें” दबाएँ, और देखें कि हाँ वाले दौरों का हिस्सा 5/18 ≈ 27.8% पर टिक जाता है।

बिना प्रतिस्थापन

जो कंचा आप निकालते हैं, वह बाहर ही रहता है। फूलदान में कंचे घटते जाते हैं और उनका मिश्रण बदल जाता है, इसलिए दूसरे कंचे की प्रायिकता पहले पर निर्भर करती है। लाल के बाद बचे 8 कंचों में से 4 लाल हैं: 4/8। नीले के बाद 8 में से 5 लाल हैं: 5/8। ये निकासियाँ आश्रित हैं, और वृक्ष आरेख की हर शाखा पर लिखी प्रायिकता एक सशर्त प्रायिकता है: पहले निकल चुके रंगों को देखते हुए इस रंग की प्रायिकता।

शाखाओं के साथ-साथ गुणा करें

वृक्ष के किसी एक पथ की प्रायिकता उसकी शाखाओं पर लिखी प्रायिकताओं का गुणनफल होती है: लाल और फिर लाल की प्रायिकता 5/9 × 4/8 = 20/72 है। यही गुणन नियम है: P(A और B) = P(A) × P(B यदि A)। चार पथों लाल-लाल, लाल-नीला, नीला-लाल और नीला-नीला की प्रायिकताएँ 20/72, 20/72, 20/72 और 12/72 हैं, और मिलकर वे 72/72 = 1 बनाती हैं, क्योंकि इनमें से कोई एक हमेशा होता है।

जो पथ गिने जाते हैं, उन्हें जोड़ें

“क्या दोनों कंचे एक ही रंग के हैं?” जैसे प्रश्न का उत्तर एक से ज़्यादा पथ देते हैं: लाल-लाल और नीला-नीला। उनकी प्रायिकताएँ जोड़ी जाती हैं: 20/72 + 12/72 = 32/72 = 4/9। जब ज़्यादातर पथ गिने जाते हों, तो जो पथ नहीं गिने जाते उन्हें घटाना जल्दी होता है: कम से कम एक लाल की प्रायिकता 1 − 12/72 = 60/72 = 5/6 है। ऐप हर प्रश्न के लिए गणना दिखाता है।

प्रतिस्थापन सहित

हर कंचा वापस डालें, तो हर निकासी के लिए फूलदान एक जैसा रहता है: तब दोनों के लाल होने की प्रायिकता 5/9 × 5/9 = 25/81 ≈ 30.9% है, यानी 27.8% से थोड़ी ज़्यादा। निकासियाँ स्वतंत्र होती हैं। फूलदान जितना बड़ा, अंतर उतना छोटा: 10 लाल और 10 नीले कंचों के साथ दो लाल की प्रायिकता बिना प्रतिस्थापन 9/38 ≈ 23.7% है और प्रतिस्थापन सहित 25%। 2 लाल और 2 नीले कंचों वाले छोटे फूलदान में अंतर बड़ा है: एक ही रंग के दो कंचों की प्रायिकता बिना प्रतिस्थापन 1/3 है और प्रतिस्थापन सहित 1/2।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

5 लाल और 4 नीले कंचों में से दो लाल कंचे निकालने की प्रायिकता क्या है?

पहला कंचा वापस डाले बिना: 5/9 × 4/8 = 20/72 = 5/18, लगभग 27.8%। वापस डालकर: 5/9 × 5/9 = 25/81, लगभग 30.9%।

प्रतिस्थापन सहित और बिना प्रतिस्थापन में क्या अंतर है?

प्रतिस्थापन सहित हर निकासी उसी फूलदान से शुरू होती है, इसलिए निकासियाँ स्वतंत्र होती हैं और प्रायिकताएँ वही रहती हैं। बिना प्रतिस्थापन हर निकासी के बाद फूलदान बदल जाता है, इसलिए हर प्रायिकता इस पर निर्भर करती है कि पहले क्या निकला।

वृक्ष आरेख में प्रायिकताओं को गुणा क्यों किया जाता है?

क्योंकि दूसरी प्रायिकता पहली का एक हिस्सा है। सभी दौरों में से 5/9 लाल कंचे से शुरू होते हैं, और उनमें से 4/8 में दूसरा कंचा भी लाल निकलता है: पाँच-नौवें का आधा 5/18 है।

क्या निकालने का क्रम मायने रखता है?

रंगों के किसी संयोजन की प्रायिकता के लिए नहीं। पहले लाल फिर नीला, और पहले नीला फिर लाल, दोनों की प्रायिकता 20/72 है (5/9 × 4/8 और 4/9 × 5/8): वही संख्याएँ, बस अलग क्रम में गुणा की गईं। ठीक एक लाल दोनों पथों का योग है: 40/72 = 5/9।

क्या कुछ अपलोड होता है?

नहीं। सब कुछ आपके ब्राउज़र में ही गणना करके कैनवास पर बनाया जाता है। सहेजें से PNG डाउनलोड होता है। संपादित करें से वह चित्र PictorX संपादक में खुलता है।