Murmeln aus einer Vase ziehen
Eine Vase mit bunten Murmeln, im Unterricht meist eine Urne mit Kugeln, ist das klassische Modell für den Zufall in der Schulmathematik. Sie verwandelt jede Frage über Ziehen, Auswählen oder Stichproben in ein Bild, das man abzählen kann.
Das Urnenmodell
In der Wahrscheinlichkeitsrechnung enthält eine Vase oder Urne eine bekannte Anzahl von Murmeln oder Kugeln in verschiedenen Farben. Man zieht eine oder mehrere, ohne hinzusehen, sodass jede Murmel, die noch in der Vase liegt, dieselbe Chance hat, gezogen zu werden. Jakob Bernoulli verwendete das Modell um 1700, und seitdem ist es das Standardbeispiel: Lottokugeln ziehen, Karten austeilen, Personen für eine Umfrage auswählen und eine Lieferung von Produkten auf Fehler prüfen funktionieren alle wie das Ziehen von Murmeln aus einer Vase.
Ohne Zurücklegen, Schritt für Schritt
Nehmen Sie eine Vase mit 5 roten und 4 blauen Murmeln, insgesamt 9, und ziehen Sie zwei, ohne sie zurückzulegen. Die erste Murmel ist mit Wahrscheinlichkeit 5/9 rot. War sie rot, bleiben 8 Murmeln übrig, 4 davon rot, also ist die zweite mit Wahrscheinlichkeit 4/8 = 1/2 rot. Die Wahrscheinlichkeit, dass beide rot sind, beträgt 5/9 × 4/8 = 20/72 = 5/18 ≈ 27,8 %.
Das Baumdiagramm
Ein Baumdiagramm zeichnet alle möglichen Verläufe der Ziehungen auf. Vom Start führt ein Ast zu Rot und einer zu Blau, jeweils beschriftet mit seiner Wahrscheinlichkeit: 5/9 und 4/9. Von jedem davon führen zwei neue Äste zur zweiten Murmel, mit den Wahrscheinlichkeiten, die nach der ersten gelten: 4/8 und 4/8 nach Rot, 5/8 und 3/8 nach Blau. Jeder Pfad endet in einem Blatt. Multiplizieren Sie die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades, um seine Wahrscheinlichkeit zu erhalten: 20/72, 20/72, 20/72 und 12/72. Zusammen ergeben die Blätter 72/72 = 1.
Pfade addieren und das Gegenereignis
Wird eine Frage von mehreren Blättern beantwortet, addieren Sie ihre Wahrscheinlichkeiten. Genau eine rote: rot-blau oder blau-rot, 20/72 + 20/72 = 40/72 = 5/9. Beide gleichfarbig: 20/72 + 12/72 = 32/72 = 4/9. Mindestens eine rote ist alles außer blau-blau: 1 − 12/72 = 60/72 = 5/6. Das Gegenteil abzuziehen, also mit dem Gegenereignis zu rechnen, ist oft der schnellste Weg.
Mit Zurücklegen
Legen Sie jede Murmel vor der nächsten Ziehung zurück, ist die Vase jedes Mal dieselbe, und die Ziehungen sind unabhängig. „Beide rot“ hat dann die Wahrscheinlichkeit 5/9 × 5/9 = 25/81 ≈ 30,9 %. Ohne Zurücklegen ist die Wahrscheinlichkeit kleiner, denn wer eine rote Murmel herausnimmt, lässt weniger rote zurück. In einer großen Vase verschwindet der Unterschied fast, und deshalb darf eine Umfrage unter 1.000 Menschen in einem Land mit Millionen Einwohnern jede Antwort als unabhängig behandeln.
Abzählen mit Kombinationen
Statt einen Baum zu zeichnen, können Sie auch abzählen. Es gibt C(9, 2) = 36 gleich wahrscheinliche Paare von Murmeln, und C(5, 2) = 10 davon bestehen aus zwei roten: 10/36 = 5/18, dieselbe Antwort. Bei mehr Ziehungen ist Abzählen schneller als ein Baum: Die Wahrscheinlichkeit für genau k rote Murmeln bei n Ziehungen ohne Zurücklegen ist C(rot, k) × C(blau, n − k) / C(gesamt, n), die hypergeometrische Verteilung.
In PictorX erkunden
Öffnen Sie Murmeln aus einer Vase, und eine Vase mit 5 roten und 4 blauen Murmeln wartet auf Sie. Klicken Sie darauf, um eine Murmel zu ziehen: Die Murmel steigt aus der Vase und landet in einer Schale, die übrigen rutschen nach, und die Meldung sagt Ihnen, was übrig ist und wie groß die Wahrscheinlichkeit für Rot jetzt ist. Das Baumdiagramm hebt den Ast hervor, den Sie genommen haben, und zeigt an jedem Blatt das Produkt; die Blätter, die die Frage beantworten, sind schattiert, und ihre Rechnung steht unter dem Baum. Wählen Sie 1 bis 10 Murmeln jeder Farbe, zwei oder drei Ziehungen, mit oder ohne Zurücklegen und eine von fünf Fragen. „Automatisch ziehen“ lässt bis zu 100.000 Runden mit bis zu 10.000 pro Sekunde laufen, und das Diagramm zeigt, wie sich der Ja-Anteil bei der Wahrscheinlichkeit aus dem Baum einpendelt.
Häufig gestellte Fragen
Was bedeutet ohne Zurücklegen?
Dass eine gezogene Murmel vor der nächsten Ziehung nicht zurückgelegt wird. Die Vase enthält mit jeder Ziehung eine Murmel weniger, und die Wahrscheinlichkeiten ändern sich.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für zwei rote Murmeln bei 5 roten und 4 blauen?
5/9 × 4/8 = 20/72 = 5/18, etwa 27,8 %, ohne Zurücklegen. Mit Zurücklegen sind es 5/9 × 5/9 = 25/81, etwa 30,9 %.
Warum ergeben die Blätter eines Baumdiagramms zusammen 1?
Weil jede Runde in genau einem Blatt endet. Die Äste, die von einem Knoten abgehen, ergeben zusammen 1, zum Beispiel 4/8 + 4/8, also verteilt das Multiplizieren entlang der Pfade die gesamte Wahrscheinlichkeit 1 auf die Blätter.
Ist es dasselbe, zwei Murmeln auf einmal oder nacheinander zu ziehen?
Ja. Wer zwei Murmeln auf einmal greift, hat dieselben Wahrscheinlichkeiten wie beim Ziehen nacheinander ohne Zurücklegen; man weiß nur nicht, welche zuerst kam.
Wofür wird das Urnenmodell verwendet?
Für jede Situation, in der Dinge zufällig aus einer festen Gruppe ausgewählt werden: Lotterien, Kartenspiele, Qualitätskontrolle, Umfragen und Genetik. Die hypergeometrische Verteilung, die daraus folgt, ist auch die Grundlage des exakten Tests nach Fisher in der Statistik.
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