Planche de Galton
Des billes tombent à travers un triangle de clous. À chaque clou, une bille rebondit à gauche ou à droite, comme à pile ou face. Chaque chemin relève du pur hasard, et pourtant, ensemble, les billes s’empilent en forme de cloche. Cette forme est la loi binomiale, et avec beaucoup de rangées elle devient la courbe de la loi normale. Les billes tombent à travers les clous et rebondissent à gauche ou à droite à chacun d’eux. La plupart des chemins finissent près du milieu, donc les cases se remplissent en courbe en cloche. Activez Triangle de Pascal pour compter les chemins, ou réglez Biais pour faire pencher chaque rebond.
Comment ça marche
- Ouvrez cette page et les billes commencent à tomber. Regardez les cases du milieu se remplir en premier et la courbe en cloche grandir.
- Réglez Rangées et Billes, ou déplacez Biais pour faire pencher chaque rebond d’un côté. Activez Triangle de Pascal pour compter les chemins.
- Lisez la moyenne et l’écart type et comparez-les à leurs valeurs attendues, puis enregistrez un PNG.
Gauche ou droite, douze fois
Avec 12 rangées, une bille rencontre 12 clous, et à chacun elle va à gauche ou à droite. Sa case est simplement le nombre de fois où elle est allée à droite : de 0 tout à gauche à 12 tout à droite. Six fois à droite et six fois à gauche, dans n’importe quel ordre, mènent au milieu.
Pourquoi le milieu se remplit en premier
Il n’y a qu’un seul chemin vers la case tout à gauche : à gauche à chaque fois. Il y a 924 chemins vers la case du milieu, car on peut répartir 6 rebonds à droite parmi 12 rebonds de 924 façons. Ces nombres forment le triangle de Pascal, et ils donnent aux cases leur forme de cloche.
Moyenne et dispersion
Avec des rebonds équilibrés, la case moyenne correspond à la moitié du nombre de rangées : 6 pour 12 rangées. La dispersion, l’écart type, vaut √(n·p·(1−p)), environ 1,73 pour 12 rangées. Réglez Biais sur 70 % et la cloche glisse vers la droite, jusqu’à 8,4.
Questions fréquemment posées
Qu’est-ce qu’une planche de Galton ?
Une planche avec des rangées de clous et des cases en bas. Francis Galton en a construit une dans les années 1870 pour montrer comment le hasard forme une courbe en cloche. On l’appelle aussi quinconce, ou bean machine en anglais.
Pourquoi une courbe en cloche ?
Chaque case recueille les chemins qui ont un certain nombre de rebonds à droite. Les chemins avec à peu près autant de rebonds à droite qu’à gauche sont de loin les plus fréquents, donc les cases du milieu se remplissent le plus. Avec beaucoup de rangées, la loi binomiale ressemble tout à fait à la courbe de la loi normale.
Que fait le Biais ?
Il fixe la probabilité qu’une bille rebondisse à droite à chaque clou. À 50 %, la cloche est au milieu. À 70 %, chaque rebond penche à droite et la cloche se déplace, mais elle garde sa forme.
Pourquoi les cases ne suivent-elles pas exactement la courbe ?
Chaque bille suit un nouveau chemin au hasard. Avec peu de billes, les cases s’éparpillent autour de la courbe. Plus vous lâchez de billes, plus elles la suivent de près.
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