Macchina di Galton
Le sfere cadono attraverso un triangolo di chiodi. A ogni chiodo una sfera rimbalza a sinistra o a destra, come a testa o croce. Ogni percorso è puro caso, eppure insieme le sfere si accumulano a forma di campana. Quella forma è la distribuzione binomiale, e con molte righe diventa la curva normale. Le sfere cadono tra i chiodi e a ognuno rimbalzano a sinistra o a destra. La maggior parte dei percorsi finisce vicino al centro, così gli scomparti si riempiono a curva a campana. Attiva Triangolo di Tartaglia per contare i percorsi, oppure imposta Sbilanciamento per inclinare ogni rimbalzo.
Come funziona
- Apri questa pagina e le sfere cominciano a cadere. Guarda gli scomparti centrali riempirsi per primi e la curva a campana crescere.
- Imposta Righe e Sfere, oppure sposta Sbilanciamento per far pendere ogni rimbalzo da un lato. Attiva Triangolo di Tartaglia per contare i percorsi.
- Leggi la media e la deviazione standard e confrontale con i valori attesi, poi salva un PNG.
Sinistra o destra, dodici volte
Con 12 righe una sfera incontra 12 chiodi, e a ognuno va a sinistra o a destra. Il suo scomparto è semplicemente il numero di volte in cui è andata a destra: da 0 all’estrema sinistra a 12 all’estrema destra. Sei volte a destra e sei a sinistra, in qualsiasi ordine, finiscono al centro.
Perché il centro si riempie per primo
C’è un solo percorso verso lo scomparto all’estrema sinistra: sempre a sinistra. Ci sono 924 percorsi verso lo scomparto centrale, perché 6 rimbalzi a destra si possono distribuire su 12 rimbalzi in 924 modi. Quei numeri sono il triangolo di Tartaglia, e danno agli scomparti la loro forma a campana.
Media e dispersione
Con rimbalzi equi lo scomparto medio corrisponde a metà delle righe: 6 con 12 righe. La dispersione, la deviazione standard, è √(n·p·(1−p)), circa 1,73 con 12 righe. Imposta Sbilanciamento al 70% e la campana scivola a destra, fino a 8,4.
Domande frequenti
Che cos’è una macchina di Galton?
Una tavola con righe di chiodi e scomparti in fondo. Francis Galton ne costruì una negli anni 1870 per mostrare come il caso forma una curva a campana. Si chiama anche quinconce o, in inglese, bean machine.
Perché si forma una curva a campana?
Ogni scomparto raccoglie i percorsi con un certo numero di rimbalzi a destra. I percorsi con circa tanti rimbalzi a destra quanti a sinistra sono di gran lunga i più comuni, quindi gli scomparti centrali si riempiono di più. Con molte righe la distribuzione binomiale sembra proprio la curva normale.
Che cosa fa lo Sbilanciamento?
Imposta la probabilità che una sfera rimbalzi a destra a ogni chiodo. Al 50% la campana sta al centro. Al 70% ogni rimbalzo pende a destra e la campana si sposta, ma mantiene la sua forma.
Perché gli scomparti non seguono esattamente la curva?
Ogni sfera è un nuovo percorso casuale. Con poche sfere gli scomparti si disperdono intorno alla curva. Più sfere fai cadere, più la seguono da vicino.
Questo carica qualcosa?
No. La tavola è disegnata su una tela nel browser. Salva scarica un PNG. Modifica apre quell’immagine nell’editor di PictorX.
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