Доска Гальтона
Шары падают сквозь треугольник из штырьков. На каждом штырьке шар отскакивает влево или вправо, словно по броску монеты. Каждый путь — чистая случайность, но вместе шары складываются в форму колокола. Эта форма — биномиальное распределение, а при большом числе рядов она превращается в нормальную кривую. Шары падают сквозь штырьки и на каждом отскакивают влево или вправо. Большинство путей заканчивается у середины, поэтому ячейки заполняются в форме колоколообразной кривой. Включите Треугольник Паскаля, чтобы сосчитать пути, или задайте Смещение, чтобы каждый отскок клонился в одну сторону.
Как это работает
- Откройте страницу, и шары начнут падать. Смотрите, как сначала заполняются средние ячейки и растёт колоколообразная кривая.
- Задайте Ряды и Шары или сдвиньте Смещение, чтобы каждый отскок клонился в одну сторону. Включите Треугольник Паскаля, чтобы сосчитать пути.
- Сверьте среднее и стандартное отклонение с их ожидаемыми значениями, затем сохраните PNG.
Влево или вправо, двенадцать раз
При 12 рядах шар встречает 12 штырьков и на каждом уходит влево или вправо. Номер его ячейки — просто число отскоков вправо: от 0 у самого левого края до 12 у самого правого. Шесть отскоков вправо и шесть влево, в любом порядке, приводят в середину.
Почему середина заполняется первой
В крайнюю левую ячейку ведёт только один путь: каждый раз влево. В среднюю ячейку ведут 924 пути, потому что 6 отскоков вправо можно расставить среди 12 отскоков 924 способами. Эти числа — треугольник Паскаля, и именно они придают ячейкам форму колокола.
Среднее и разброс
При честных отскоках средний номер ячейки равен половине числа рядов: 6 при 12 рядах. Разброс, то есть стандартное отклонение, равен √(n·p·(1−p)) — около 1.73 при 12 рядах. Установите Смещение на 70%, и колокол сдвинется вправо, к 8.4.
Часто задаваемые вопросы
Что такое доска Гальтона?
Это доска с рядами штырьков и ячейками внизу. Фрэнсис Гальтон построил такую в 1870-х годах, чтобы показать, как случайность складывается в колоколообразную кривую. Её также называют «бобовой машиной» (bean machine) или квинкунксом.
Почему получается колоколообразная кривая?
Каждая ячейка собирает пути с определённым числом отскоков вправо. Пути, в которых отскоков вправо примерно столько же, сколько влево, встречаются намного чаще остальных, поэтому больше всего заполняются средние ячейки. При большом числе рядов биномиальное распределение выглядит точь-в-точь как нормальная кривая.
Что делает Смещение?
Оно задаёт вероятность того, что шар отскочит вправо на каждом штырьке. При 50% колокол стоит посередине. При 70% каждый отскок клонится вправо и колокол сдвигается, но сохраняет форму.
Почему ячейки не совпадают с кривой точно?
Каждый шар — новый случайный путь. Когда шаров мало, ячейки разбросаны вокруг кривой. Чем больше шаров вы бросите, тем точнее они ей следуют.
Что-нибудь загружается?
Нет. Доска рисуется на холсте в браузере. Кнопка «Сохранить» скачивает PNG. Кнопка «Редактировать» открывает это изображение в редакторе PictorX.
Сопутствующие инструменты
Доска Гальтона
Как работает доска Гальтона: случайные отскоки, треугольник Паскаля, биномиальное распределение и то, как из чистой случайности возникает колоколообразная кривая нормального распределения.
Игла Бюффона
Бросайте иглы на разлинованный пол прямо в браузере. Считайте пересечения и смотрите, как опыт Бюффона 1777 года оценивает π.
Гонка по брахистохроне
Устройте гонку шаров от A до B по прямому скату, дуге окружности, параболе и циклоиде. Циклоида всегда побеждает, даже когда опускается ниже финиша. Нарисуйте свою трассу.
Гипотеза Коллатца
Исследуйте задачу Коллатца 3n+1 в браузере. Проходите последовательности «градин», выращивайте геометрическое дерево Коллатца и приближайте непрерывный фрактал Коллатца.
Круги умножения
Соедините каждое число на круге с его кратным. Нарисуйте таблицу умножения, кардиоиду или фигуру из нити на бумаге, мелом или на дереве.
Спираль Улама
Постройте спираль Улама в браузере. Отметьте простые числа, прочитайте квадратичный многочлен каждой диагонали и откройте непрерывную серию из 40 простых чисел Эйлера.
Готовы попробовать?
Откройте PictorX в своем браузере — установка не требуется, для запуска не требуется кредитная карта.
Перейти в редактор