弗朗西斯·高尔顿的装置
弗朗西斯·高尔顿是维多利亚时代的科学家，热衷于研究遗传和统计。他在 1870 年代造出了第一块这样的板，并在 1889 年的著作《自然遗传》（Natural Inheritance）中描述了它。他把它叫作 quincunx（梅花形），这个名字来自骰子上五个点的图案，交错排列的钉子重复的正是这个图案。
一跳接一跳
在每颗钉子上，球以相等的机会向左或向右，就像抛硬币。经过 n 行后，它就做了 n 次这样的选择。它落进哪个槽，取决于它向右走了几次。顺序无关紧要：先右后左和先左后右落在同一个地方。
杨辉三角数出路径
在最上面的钉子上写 1。在其余每颗钉子上，写下它上方两个数之和。这就是杨辉三角（也叫帕斯卡三角形），每个数都是到达那颗钉子的路径数。最后一行给出通往每个槽的路径数。12 行时，它是 1、12、66、220、495、792、924，然后再依次减小回去。
二项分布
把通往某个槽的路径数除以全部 2ⁿ 条路径，就得到落进那个槽的概率。这就是二项分布。在公平的板上，平均值是 n/2，标准差是 √n/2。偏向为 p 时，平均值变为 n·p，离散程度变为 √(n·p·(1−p))。
从槽到钟形曲线
随着行数增加，二项分布的柱子勾勒出光滑的正态曲线，也就是钟形曲线。亚伯拉罕·棣莫弗在 1733 年证明了这一点。这是中心极限定理最早的例子之一：把许多微小、独立的随机步骤加起来，总和就服从钟形曲线。
为什么各个槽永远不会完全精确
每个球都是随机的，所以各个槽的高度散布在预期高度周围。一个应该装大约 N 个球的槽，通常会偏差约 √N。投 100 个球，形状还很粗糙。投 5000 个，它就紧贴曲线。
高尔顿与均值回归
高尔顿在研究遗传时用到了这块板。他注意到，非常高的父母，孩子往往也高，但更接近平均水平。他把这称为均值回归，这个概念如今在统计学的各个领域都在使用。
在 PictorX 里试试
打开高尔顿板，球立刻开始落下。行数设定弹跳的次数，球数设定落下多少个球，偏向设定向右的概率。钟形曲线显示预期高度，槽下方的数字是球的个数。打开杨辉三角查看路径，然后保存 PNG。
常见问题
高尔顿板是谁发明的？
弗朗西斯·高尔顿在 1870 年代造出了它，并在 1889 年的著作《自然遗传》（Natural Inheritance）中描述了它。
二项分布和正态分布有什么区别？
二项分布统计的是固定次数的“是或否”试验中成功的次数，比如板上向右弹的次数。正态分布是试验次数很大时二项分布所趋近的那条光滑钟形曲线。
为什么叫 quincunx（梅花形）？
Quincunx 指的是骰子上五个点的图案：四个角各一个，中间一个。交错排列的一排排钉子重复的正是这个图案。
真正的高尔顿板能得到完美的钟形曲线吗？
不完全能。真实的球会互相碰撞，还可能一次弹出不止一步，这会让钟形稍微变宽。这个模拟里的弹跳彼此独立，就像在理想的板上一样。
相关工具
高尔顿板
让球穿过一排排钉子落下，看底部的槽按钟形曲线填满。改变行数、偏向和球数，并把平均值和离散程度与理论对比。
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