Бесплатный исследователь гипотезы Коллатца | Дерево 3n+1 и фрактал

Как это работает

Откройте эту страницу и смотрите, как геометрическое дерево вырастает из последовательностей «градин».
Выберите начальное число или переключитесь на комплексный фрактал: перетаскивайте для сдвига, прокручивайте для масштаба.
Настройте углы поворота или число итераций, затем сохраните PNG или откройте изображение в редакторе PictorX.

Правила, понятные даже ребёнку

Начните с натурального числа n. Если n чётное, замените его на n/2. Если n нечётное, замените его на 3n+1. Повторяйте. Гипотеза утверждает, что любое начальное значение в итоге приходит к 1. Дойдя до 1, вы попадаете в бесконечный цикл 1 → 4 → 2 → 1. Последовательности скачут вверх и вниз, прежде чем упасть, поэтому их также называют числами-градинами. Начав с 6, получим путь 6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1.

Почему доказательства до сих пор нет

Компьютеры проверили все целые числа далеко за 2×10²¹, и каждое приходит к 1. Общего доказательства нет. Пал Эрдёш говорил, что математика ещё не готова к таким задачам. В 2019 году Теренс Тао доказал, что гипотеза верна почти для всех чисел, — это крупный шаг, но не полное решение. Японская компания назначила премию в 120 миллионов иен за окончательное доказательство.

Два способа увидеть математику

Геометрическое дерево воспринимает каждый чётный или нечётный шаг как поворот на плоскости, так что последовательность становится путём, а множество последовательностей — кораллом. Комплексный фрактал распространяет то же правило на каждую точку z = x + yi с помощью тригонометрического переключателя, который на чётных числах даёт ровно n/2, а на нечётных ровно 3n+1. Цвет показывает, за сколько итераций |z| убегает.

Часто задаваемые вопросы

Что такое гипотеза Коллатца?

Это утверждение, что любое натуральное число дойдёт до 1, если многократно заменять чётное n на n/2, а нечётное — на 3n+1. Правила просты, а общее доказательство — нет.

Что показывает это приложение?

Два взгляда на одно правило. Геометрическое дерево превращает последовательности «градин» в пути на плоскости. Комплексный фрактал итерирует гладкую функцию Коллатца на комплексной плоскости и раскрашивает пиксели по времени убегания.

Почему эти последовательности называют числами-градинами?

Значения часто много раз поднимаются и опускаются, прежде чем упасть до 1, — так градины поднимаются и падают в грозовом облаке. Начав с 6, получите 6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1.

Доказана ли гипотеза?

Нет. Каждое проверенное целое число заканчивается на 1, а Теренс Тао показал, что почти все числа в итоге становятся очень малыми, но доказательство для любого начального значения по-прежнему не найдено.

Вычисления выполняются в моём браузере?

Да. Дерево, последовательность и фрактал вычисляются на вашем устройстве. Сохраните PNG или откройте холст в редакторе PictorX.