Trình khám phá Giả thuyết Collatz miễn phí | Cây 3n+1 & Fractal

Cách nó hoạt động

Mở trang này và xem cây hình học mọc lên từ các dãy mưa đá.
Chọn một số bắt đầu, hoặc chuyển sang fractal phức rồi kéo để di chuyển, cuộn để phóng to.
Tinh chỉnh góc rẽ hoặc số lần lặp, rồi lưu PNG hoặc mở ảnh trong trình chỉnh sửa PictorX.

Quy tắc đơn giản đến trẻ em cũng hiểu

Bắt đầu với một số nguyên dương n. Nếu n chẵn, thay bằng n/2. Nếu n lẻ, thay bằng 3n+1. Lặp lại. Giả thuyết khẳng định mọi giá trị ban đầu cuối cùng đều về 1. Khi chạm 1, bạn rơi vào vòng lặp vô hạn 1 → 4 → 2 → 1. Các dãy nảy lên xuống trước khi sụp xuống, vì thế chúng còn được gọi là số mưa đá. Bắt đầu từ 6, đường đi là 6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1.

Vì sao vẫn chưa có chứng minh

Máy tính đã kiểm tra mọi số nguyên vượt xa 2×10²¹ và số nào cũng về 1. Một chứng minh tổng quát thì chưa có. Paul Erdős từng nói toán học chưa sẵn sàng cho loại bài toán này. Năm 2019, Terence Tao chứng minh giả thuyết đúng với hầu hết mọi số, một bước tiến lớn nhưng chưa phải lời giải trọn vẹn. Một công ty Nhật Bản treo giải 120 triệu yên cho một chứng minh dứt khoát.

Hai cách nhìn bài toán

Cây hình học coi mỗi bước chẵn hoặc lẻ là một lần rẽ trên mặt phẳng, nên một dãy trở thành một đường đi và nhiều dãy trở thành một rạn san hô. Fractal phức mở rộng cùng quy tắc cho mọi điểm z = x + yi bằng một công tắc lượng giác cho đúng n/2 với số chẵn và đúng 3n+1 với số lẻ. Màu sắc ghi lại số lần lặp để |z| thoát ra.

Hỏi thường xuyên

Giả thuyết Collatz là gì?

Đó là khẳng định rằng mọi số nguyên dương đều về 1 nếu bạn liên tục thay n chẵn bằng n/2 và n lẻ bằng 3n+1. Quy tắc thì đơn giản; chứng minh tổng quát thì không.

Ứng dụng này hiển thị gì?

Hai góc nhìn về cùng một quy tắc. Cây hình học biến các dãy mưa đá thành đường đi trên mặt phẳng. Fractal phức lặp một hàm Collatz trơn trên mặt phẳng phức và tô màu điểm ảnh theo thời gian thoát.

Vì sao các dãy này được gọi là số mưa đá?

Giá trị thường tăng giảm nhiều lần trước khi rơi về 1, giống như hạt mưa đá bị nâng lên rồi rơi xuống trong đám mây giông. Bắt đầu từ 6, bạn được 6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1.

Giả thuyết đã được chứng minh chưa?

Chưa. Mọi số nguyên đã kiểm tra đều kết thúc ở 1, và Terence Tao đã chỉ ra hầu hết mọi số cuối cùng đều trở nên rất nhỏ, nhưng chứng minh cho mọi giá trị ban đầu vẫn còn bỏ ngỏ.

Các phép tính có chạy trong trình duyệt của tôi không?

Có. Cây, dãy số và fractal đều được tính trên thiết bị của bạn. Lưu PNG hoặc mở khung vẽ trong trình chỉnh sửa PictorX.