무료 콜라츠 추측 탐색기 | 3n+1 나무와 프랙털

작동 원리

이 페이지를 열고 우박수열에서 기하학적 나무가 자라나는 모습을 지켜보세요.
시작 숫자를 고르거나 복소 프랙털로 전환해 드래그로 이동하고 스크롤로 확대하세요.
회전 각도나 반복 횟수를 조정한 다음 PNG로 저장하거나 PictorX 편집기에서 이미지를 여세요.

아이도 이해할 만큼 간단한 규칙

양의 정수 n에서 시작합니다. n이 짝수이면 n/2로, 홀수이면 3n+1로 바꿉니다. 이를 반복합니다. 이 추측은 모든 시작값이 결국 1에 도달한다고 주장합니다. 1에 닿으면 1 → 4 → 2 → 1의 무한 순환에 들어갑니다. 수열은 무너지기 전에 오르내리기 때문에 우박수라고도 불립니다. 6에서 시작하면 경로는 6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1입니다.

왜 아직 증명이 없을까

컴퓨터는 2×10²¹을 훨씬 넘는 모든 정수를 확인했고, 모두 1에 도달했습니다. 하지만 일반적인 증명은 없습니다. 폴 에르되시는 수학이 아직 이런 문제를 다룰 준비가 되지 않았다고 말했습니다. 2019년 테렌스 타오는 이 추측이 거의 모든 수에 대해 성립함을 증명했습니다. 큰 진전이지만 완전한 해답은 아닙니다. 한 일본 기업은 확정적인 증명에 1억 2천만 엔의 상금을 걸었습니다.

수학을 보는 두 가지 방법

기하학적 나무는 짝수 또는 홀수 단계를 평면 위의 회전으로 다루므로, 하나의 수열은 경로가 되고 여러 수열은 산호가 됩니다. 복소 프랙털은 짝수에서는 정확히 n/2, 홀수에서는 정확히 3n+1이 되는 삼각함수 스위치로 같은 규칙을 모든 점 z = x + yi에 확장합니다. 색은 |z|가 탈출하기까지 걸린 반복 횟수를 나타냅니다.