Gratis Collatz-formodning-udforsker | 3n+1-træ og fraktal

Sådan virker det

Åbn denne side, og se det geometriske træ vokse ud af haglkornsfølger.
Vælg et starttal, eller skift til den komplekse fraktal: træk for at panorere, rul for at zoome.
Justér drejningsvinklerne eller iterationerne, og gem derefter en PNG, eller åbn billedet i PictorX-editoren.

Regler, et barn kan forstå

Start med et positivt heltal n. Er n lige, erstattes det med n/2. Er n ulige, erstattes det med 3n+1. Gentag. Formodningen hævder, at enhver startværdi til sidst når 1. Når du rammer 1, går du ind i den uendelige cyklus 1 → 4 → 2 → 1. Følgerne hopper op og ned, før de falder sammen, og derfor kaldes de også haglkornstal. Starter du ved 6, er vejen 6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1.

Hvorfor et bevis stadig mangler

Computere har tjekket hvert heltal langt ud over 2×10²¹, og hvert eneste når 1. Et generelt bevis findes ikke. Paul Erdős sagde, at matematikken endnu ikke er klar til den slags problemer. I 2019 beviste Terence Tao, at formodningen gælder for næsten alle tal – et stort fremskridt, men ikke en fuldstændig løsning. Et japansk firma har udlovet en præmie på 120 millioner yen for et endegyldigt bevis.

To måder at se matematikken på

Det geometriske træ behandler hvert lige eller ulige trin som en drejning i planen, så en følge bliver til en sti og mange følger til en koral. Den komplekse fraktal udvider den samme regel til hvert punkt z = x + yi med en trigonometrisk kontakt, der er præcis n/2 på lige heltal og præcis 3n+1 på ulige heltal. Farven viser, hvor mange iterationer det tager, før |z| undslipper.

Ofte stillede spørgsmål

Hvad er Collatz-formodningen?

Det er påstanden om, at ethvert positivt heltal når 1, hvis man gentagne gange erstatter et lige n med n/2 og et ulige n med 3n+1. Reglerne er enkle; et generelt bevis er det ikke.

Hvad viser denne app?

To visninger af den samme regel. Det geometriske træ gør haglkornsfølger til stier i planen. Den komplekse fraktal itererer en glat Collatz-funktion i den komplekse plan og farver pixels efter undslipstid.

Hvorfor kaldes følgerne haglkornstal?

Værdierne stiger og falder ofte mange gange, før de falder til 1, ligesom haglkorn løftes og falder i en tordensky. Starter du ved 6, får du 6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1.

Er formodningen blevet bevist?

Nej. Hvert kontrolleret heltal ender ved 1, og Terence Tao viste, at næsten alle tal til sidst bliver meget små, men et bevis for hver startværdi mangler stadig.

Kører matematikken i min browser?

Ja. Træet, følgen og fraktalen beregnes på din enhed. Gem en PNG, eller åbn lærredet i PictorX-editoren.