コラッツ予想
好きな正の整数を選び、2 つのルールに従います。偶数なら 2 で割り、奇数なら 3n+1 を計算します。コラッツ予想は、どの数列もいずれ 1 に達し、4 → 2 → 1 を繰り返すと主張します。PictorX はこのあられ数を、調整・アニメーション・保存ができる幾何学的な木とマンデルブロ風のフラクタルに変えます。 開始する数を選び、幾何学的なあられ数の木を育てるか、連続版コラッツ・フラクタルをズームしましょう。
使い方
- このページを開き、あられ数列から幾何学的な木が育つ様子を眺めましょう。
- 開始する数を選ぶか、複素フラクタルに切り替えて、ドラッグで移動、スクロールでズームします。
- 回転角や反復回数を調整し、PNG を保存するか PictorX エディターで画像を開きましょう。
子どもでもわかるルール
正の整数 n から始めます。n が偶数なら n/2 に、奇数なら 3n+1 に置き換え、これを繰り返します。予想は、どの初期値もいずれ 1 に達すると主張します。1 に達すると、1 → 4 → 2 → 1 の無限ループに入ります。数列は落ちる前に上下に跳ねるため、あられ数とも呼ばれます。6 から始めると、経路は 6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1 です。
なぜまだ証明がないのか
コンピューターは 2×10²¹ をはるかに超えるすべての整数を調べ、どれも 1 に達しました。しかし一般的な証明はありません。ポール・エルデシュは、数学はまだこの種の問題に対する準備ができていないと述べました。2019 年、テレンス・タオはほとんどすべての数で予想が成り立つことを証明しました。大きな前進ですが、完全な解決ではありません。ある日本企業は決定的な証明に 1 億 2000 万円の賞金を掲げています。
数学を見る 2 つの方法
幾何学的な木は、偶数・奇数の各ステップを平面上の回転として扱うため、1 つの数列は道筋に、多くの数列はサンゴになります。複素フラクタルは、偶数ではちょうど n/2、奇数ではちょうど 3n+1 になる三角関数のスイッチで、同じルールをすべての点 z = x + yi に広げます。色は |z| が脱出するまでの反復回数を表します。
よくある質問
コラッツ予想とは何ですか?
偶数 n を n/2 に、奇数 n を 3n+1 に繰り返し置き換えると、どの正の整数も 1 に達するという主張です。ルールは簡単ですが、一般的な証明は簡単ではありません。
このアプリでは何が見られますか?
同じルールを 2 つの見方で表します。幾何学的な木はあられ数列を平面上の道筋に変えます。複素フラクタルは複素平面上で滑らかなコラッツ関数を反復し、脱出時間に応じてピクセルを色付けします。
なぜ数列はあられ数と呼ばれるのですか?
値は 1 に落ちるまでに何度も上下します。雷雲の中で持ち上げられては落ちるあられのようです。6 から始めると 6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1 になります。
この予想は証明されましたか?
いいえ。調べたすべての整数は 1 で終わり、テレンス・タオはほとんどすべての数がいずれ非常に小さくなることを示しましたが、あらゆる初期値に対する証明はまだ未解決です。
計算はブラウザ内で行われますか?
はい。木、数列、フラクタルはすべてお使いの端末で計算されます。PNG を保存するか、キャンバスを PictorX エディターで開けます。
関連ツール
コラッツ予想
コラッツ予想は数学で最も有名な未解決問題の一つです。偶数・奇数のシンプルなルール、あられ数、エルデシュ、テレンス・タオ、そしてデータを幾何学とフラクタルとして見る 2 つの方法を紹介します。
ラングトンのアリ
ブラウザでラングトンのアリを動かしましょう。対称、カオス、104 ステップのハイウェイを観察し、多色の規則、複数のアリ、六角格子、ターマイトも試せます。
ウラムの螺旋
ブラウザでウラムの螺旋を描きます。素数に印を付け、各対角線の二次式を読み取り、オイラーの途切れない40個の素数の列を開けます。
ビュフォンの針
ブラウザーで線の引かれた床に針を落とします。交差を数え、ビュフォンの1777年の実験が π を推定する様子を見てみましょう。
かけ算の円
円の上の各数をその倍数と結びます。紙に、チョークで、または木の上に、かけ算表やカージオイド、糸かけの図形を描きましょう。
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