Kostenloser Collatz-Vermutung-Explorer | 3n+1-Baum & Fraktal

Wie es funktioniert

Öffnen Sie diese Seite und sehen Sie zu, wie der geometrische Baum aus Hagelkorn-Folgen wächst.
Wählen Sie eine Startzahl oder wechseln Sie zum komplexen Fraktal: ziehen zum Verschieben, scrollen zum Zoomen.
Passen Sie die Drehwinkel oder Iterationen an und speichern Sie dann ein PNG oder öffnen Sie das Bild im PictorX-Editor.

Regeln, die selbst ein Kind versteht

Beginnen Sie mit einer positiven ganzen Zahl n. Ist n gerade, ersetzen Sie sie durch n/2. Ist n ungerade, ersetzen Sie sie durch 3n+1. Wiederholen Sie das. Die Vermutung behauptet, dass jeder Startwert irgendwann 1 erreicht. Bei 1 gelangen Sie in den endlosen Zyklus 1 → 4 → 2 → 1. Die Folgen springen auf und ab, bevor sie zusammenfallen, deshalb heißen sie auch Hagelkornzahlen. Bei 6 lautet der Weg 6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1.

Warum ein Beweis noch fehlt

Computer haben jede ganze Zahl weit über 2×10²¹ hinaus geprüft, und jede erreicht 1. Einen allgemeinen Beweis gibt es nicht. Paul Erdős sagte, die Mathematik sei für diese Art von Problem noch nicht bereit. 2019 bewies Terence Tao, dass die Vermutung für fast alle Zahlen gilt – ein großer Fortschritt, aber keine vollständige Lösung. Ein japanisches Unternehmen hat 120 Millionen Yen für einen endgültigen Beweis ausgeschrieben.

Zwei Arten, die Mathematik zu sehen

Der geometrische Baum behandelt jeden geraden oder ungeraden Schritt als Drehung in der Ebene, sodass eine Folge zu einem Pfad wird und viele Folgen zu einer Koralle. Das komplexe Fraktal überträgt dieselbe Regel auf jeden Punkt z = x + yi – mit einem trigonometrischen Schalter, der auf geraden Zahlen genau n/2 und auf ungeraden genau 3n+1 ergibt. Die Farbe zeigt, nach wie vielen Iterationen |z| entkommt.

Häufig gestellte Fragen

Was ist die Collatz-Vermutung?

Es ist die Behauptung, dass jede positive ganze Zahl 1 erreicht, wenn man ein gerades n wiederholt durch n/2 und ein ungerades n durch 3n+1 ersetzt. Die Regeln sind einfach, ein allgemeiner Beweis nicht.

Was zeigt diese App?

Zwei Ansichten derselben Regel. Der geometrische Baum macht aus Hagelkorn-Folgen Pfade in der Ebene. Das komplexe Fraktal iteriert eine glatte Collatz-Funktion in der komplexen Ebene und färbt Pixel nach ihrer Fluchtzeit.

Warum heißen die Folgen Hagelkornzahlen?

Die Werte steigen und fallen oft viele Male, bevor sie auf 1 sinken – so wie Hagelkörner in einer Gewitterwolke gehoben und fallen gelassen werden. Bei 6 erhalten Sie 6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1.

Wurde die Vermutung bewiesen?

Nein. Jede geprüfte ganze Zahl endet bei 1, und Terence Tao zeigte, dass fast alle Zahlen irgendwann sehr klein werden, aber ein Beweis für jeden Startwert steht noch aus.

Läuft die Mathematik in meinem Browser?

Ja. Baum, Folge und Fraktal werden auf Ihrem Gerät berechnet. Speichern Sie ein PNG oder öffnen Sie die Leinwand im PictorX-Editor.