Darmowy eksplorator hipotezy Collatza | Drzewo 3n+1 i fraktal

Jak to działa

Otwórz tę stronę i patrz, jak geometryczne drzewo wyrasta z ciągów gradowych.
Wybierz liczbę początkową albo przełącz na fraktal zespolony: przeciągaj, by przesuwać, przewijaj, by przybliżać.
Dostosuj kąty skrętu lub liczbę iteracji, a potem zapisz PNG albo otwórz obraz w edytorze PictorX.

Zasady zrozumiałe dla dziecka

Zacznij od dodatniej liczby całkowitej n. Jeśli n jest parzysta, zastąp ją przez n/2. Jeśli n jest nieparzysta, zastąp ją przez 3n+1. Powtarzaj. Hipoteza głosi, że każda wartość początkowa w końcu dochodzi do 1. Po dojściu do 1 wchodzisz w nieskończony cykl 1 → 4 → 2 → 1. Ciągi skaczą w górę i w dół, zanim opadną, dlatego nazywa się je też liczbami gradowymi. Zaczynając od 6, droga wygląda tak: 6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1.

Dlaczego wciąż brakuje dowodu

Komputery sprawdziły każdą liczbę całkowitą daleko poza 2×10²¹ i każda dochodzi do 1. Ogólnego dowodu nie ma. Paul Erdős mówił, że matematyka nie jest jeszcze gotowa na takie problemy. W 2019 roku Terence Tao udowodnił, że hipoteza jest prawdziwa dla prawie wszystkich liczb – to duży postęp, ale nie pełne rozwiązanie. Japońska firma wyznaczyła nagrodę 120 milionów jenów za ostateczny dowód.

Dwa sposoby, by zobaczyć matematykę

Drzewo geometryczne traktuje każdy krok parzysty lub nieparzysty jako skręt na płaszczyźnie, więc ciąg staje się ścieżką, a wiele ciągów – koralem. Fraktal zespolony rozszerza tę samą regułę na każdy punkt z = x + yi za pomocą trygonometrycznego przełącznika, który dla parzystych liczb całkowitych daje dokładnie n/2, a dla nieparzystych dokładnie 3n+1. Kolor pokazuje, po ilu iteracjach |z| ucieka.

Często zadawane pytania

Czym jest hipoteza Collatza?

To twierdzenie, że każda dodatnia liczba całkowita dojdzie do 1, jeśli wielokrotnie zastępujesz parzyste n przez n/2, a nieparzyste przez 3n+1. Zasady są proste; ogólny dowód już nie.

Co pokazuje ta aplikacja?

Dwa widoki tej samej reguły. Drzewo geometryczne zamienia ciągi gradowe w ścieżki na płaszczyźnie. Fraktal zespolony iteruje gładką funkcję Collatza na płaszczyźnie zespolonej i koloruje piksele według czasu ucieczki.

Dlaczego te ciągi nazywa się liczbami gradowymi?

Wartości często wiele razy rosną i maleją, zanim spadną do 1, tak jak grad unoszony i opadający w chmurze burzowej. Zaczynając od 6, otrzymasz 6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1.

Czy hipoteza została udowodniona?

Nie. Każda sprawdzona liczba całkowita kończy na 1, a Terence Tao pokazał, że prawie wszystkie liczby w końcu stają się bardzo małe, ale dowód dla każdej wartości początkowej wciąż nie istnieje.

Czy obliczenia działają w mojej przeglądarce?

Tak. Drzewo, ciąg i fraktal są obliczane na Twoim urządzeniu. Zapisz PNG albo otwórz płótno w edytorze PictorX.