La conjetura de Collatz
Elige cualquier entero positivo y sigue dos reglas: si es par, divide entre 2; si es impar, calcula 3n+1. La conjetura de Collatz dice que toda secuencia acaba llegando a 1 y repite 4 → 2 → 1. PictorX convierte esos números granizo en un árbol geométrico y en un fractal de estilo Mandelbrot que puedes ajustar, animar y guardar. Elige un número inicial, haz crecer un árbol geométrico de granizo o haz zoom en el fractal de Collatz continuo.
como funciona
- Abre esta página y mira cómo el árbol geométrico crece a partir de secuencias de granizo.
- Elige un número inicial o cambia al fractal complejo: arrastra para desplazarte y usa la rueda para hacer zoom.
- Ajusta los ángulos de giro o las iteraciones y guarda un PNG o abre la imagen en el editor de PictorX.
Reglas tan simples que las entiende un niño
Empieza con un entero positivo n. Si n es par, sustitúyelo por n/2. Si n es impar, sustitúyelo por 3n+1. Repite. La conjetura afirma que todo valor inicial acaba llegando a 1. Al llegar a 1 entras en el ciclo infinito 1 → 4 → 2 → 1. Las secuencias suben y bajan antes de desplomarse, por eso también se llaman números granizo. Si empiezas en 6, el camino es 6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1.
Por qué todavía falta una demostración
Los ordenadores han comprobado todos los enteros mucho más allá de 2×10²¹, y todos llegan a 1. No existe una demostración general. Paul Erdős dijo que las matemáticas aún no están preparadas para este tipo de problema. En 2019 Terence Tao demostró que la conjetura se cumple para casi todos los números, un gran avance pero no una solución completa. Una empresa japonesa ofrece un premio de 120 millones de yenes por una demostración definitiva.
Dos formas de ver las matemáticas
El árbol geométrico trata cada paso par o impar como un giro en el plano, así que una secuencia se convierte en un camino y muchas secuencias en un coral. El fractal complejo extiende la misma regla a cada punto z = x + yi con un conmutador trigonométrico que vale exactamente n/2 en los enteros pares y exactamente 3n+1 en los impares. El color registra cuántas iteraciones tarda |z| en escapar.
Preguntas frecuentes
¿Qué es la conjetura de Collatz?
Es la afirmación de que todo entero positivo llega a 1 si sustituyes repetidamente un n par por n/2 y un n impar por 3n+1. Las reglas son sencillas; una demostración general, no.
¿Qué muestra esta aplicación?
Dos vistas de la misma regla. El árbol geométrico convierte las secuencias de granizo en caminos en el plano. El fractal complejo itera una función de Collatz suave en el plano complejo y colorea los píxeles según su tiempo de escape.
¿Por qué las secuencias se llaman números granizo?
Los valores suelen subir y bajar muchas veces antes de caer a 1, igual que el granizo sube y cae dentro de una nube de tormenta. Si empiezas en 6 obtienes 6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1.
¿Se ha demostrado la conjetura?
No. Todos los enteros comprobados terminan en 1, y Terence Tao demostró que casi todos los números acaban haciéndose muy pequeños, pero la demostración para cualquier valor inicial sigue pendiente.
¿Los cálculos se hacen en mi navegador?
Sí. El árbol, la secuencia y el fractal se calculan en tu dispositivo. Guarda un PNG o abre el lienzo en el editor de PictorX.
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