Conjectura Collatz
Alege orice număr întreg pozitiv și urmează două reguli: dacă este par, împarte la 2; dacă este impar, calculează 3n+1. Conjectura Collatz spune că orice șir ajunge în cele din urmă la 1 și se repetă 4 → 2 → 1. PictorX transformă aceste numere grindină într-un arbore geometric și un fractal în stil Mandelbrot pe care le poți ajusta, anima și salva. Alege un număr de pornire, crește un arbore geometric al numerelor grindină sau mărește fractalul Collatz continuu.
Cum funcţionează
- Deschide această pagină și urmărește cum crește arborele geometric din șirurile grindină.
- Alege un număr de pornire sau treci la fractalul complex: trage pentru a deplasa, derulează pentru zoom.
- Ajustează unghiurile de rotație sau iterațiile, apoi salvează un PNG sau deschide imaginea în editorul PictorX.
Reguli pe înțelesul unui copil
Pornește de la un număr întreg pozitiv n. Dacă n este par, înlocuiește-l cu n/2. Dacă n este impar, înlocuiește-l cu 3n+1. Repetă. Conjectura afirmă că orice valoare de pornire ajunge în cele din urmă la 1. Odată ajuns la 1, intri în ciclul infinit 1 → 4 → 2 → 1. Șirurile urcă și coboară înainte să se prăbușească, de aceea se numesc și numere grindină. Pornind de la 6, drumul este 6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1.
De ce lipsește încă o demonstrație
Calculatoarele au verificat fiecare număr întreg mult peste 2×10²¹ și fiecare ajunge la 1. Nu există o demonstrație generală. Paul Erdős spunea că matematica nu este încă pregătită pentru astfel de probleme. În 2019, Terence Tao a demonstrat că conjectura este adevărată pentru aproape toate numerele, un progres major, dar nu o soluție completă. O companie japoneză a oferit un premiu de 120 de milioane de yeni pentru o demonstrație definitivă.
Două moduri de a vedea matematica
Arborele geometric tratează fiecare pas par sau impar ca o rotație în plan, astfel încât un șir devine o cale, iar multe șiruri devin un coral. Fractalul complex extinde aceeași regulă la fiecare punct z = x + yi printr-un comutator trigonometric care este exact n/2 pe numerele pare și exact 3n+1 pe cele impare. Culoarea arată câte iterații îi trebuie lui |z| ca să evadeze.
Întrebări frecvente
Ce este conjectura Collatz?
Este afirmația că orice număr întreg pozitiv ajunge la 1 dacă înlocuiești repetat un n par cu n/2 și un n impar cu 3n+1. Regulile sunt simple; o demonstrație generală nu este.
Ce arată această aplicație?
Două perspective asupra aceleiași reguli. Arborele geometric transformă șirurile grindină în căi în plan. Fractalul complex iterează o funcție Collatz netedă în planul complex și colorează pixelii după timpul de evadare.
De ce se numesc șirurile numere grindină?
Valorile urcă și coboară adesea de multe ori înainte să scadă la 1, așa cum grindina este ridicată și lăsată să cadă într-un nor de furtună. Pornind de la 6 obții 6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1.
A fost demonstrată conjectura?
Nu. Fiecare număr întreg verificat se termină la 1, iar Terence Tao a arătat că aproape toate numerele devin în cele din urmă foarte mici, dar o demonstrație pentru orice valoare de pornire lipsește încă.
Calculele rulează în browserul meu?
Da. Arborele, șirul și fractalul sunt calculate pe dispozitivul tău. Salvează un PNG sau deschide pânza în editorul PictorX.
Unelte conexe
Conjectura Collatz
Conjectura Collatz este una dintre cele mai faimoase enigme nerezolvate ale matematicii: reguli simple par/impar, numere grindină, Erdős, Terence Tao și două moduri de a vedea datele ca geometrie și ca fractal.
Furnica lui Langton
Rulează furnica lui Langton în browser. Urmărește simetria, haosul și autostrada de 104 pași, apoi încearcă reguli multicolore, mai multe furnici, o grilă hexagonală și turmite.
Spirala lui Ulam
Desenează spirala lui Ulam în browser. Marchează numerele prime, citește polinomul de gradul al doilea de pe fiecare diagonală și deschide șirul neîntrerupt de 40 de numere prime al lui Euler.
Acul lui Buffon
Lasă ace să cadă pe o podea liniată, în browser. Numără intersecțiile și urmărește cum experimentul lui Buffon din 1777 estimează π.
Cercuri de înmulțire
Unește fiecare număr de pe un cerc cu multiplul său. Desenează o tablă a înmulțirii, o cardioidă sau o figură din fir pe hârtie, cu cretă sau pe lemn.
Explorează minunata lume a fractalilor
Explorează minunata lume a fractalilor. Fractalele sunt complexe, modele geometrice detaliate găsite în întreaga lume naturală.
Fractali
Aflați cum se generează mulțimea Mandelbrot, mulțimile Julia, fractalii Newton și fractalii Nova—și de ce zoom-ul nu rămâne niciodată fără detalii.
Atractor Lorenz
Atractor Lorenz interactiv: reglează a, b, f, rotește în 3D, încearcă aspecte neon/cerneală/fum și salvează un PNG.
Atractorul Lorenz
Cum ecuațiile meteo ale lui Edward Lorenz au dezvăluit teoria haosului: atractorul fluture, dependența sensibilă de condițiile inițiale și de ce eșuează prognozele pe termen lung.
Eşti gata să încerci?
Deschide PictorX în browser-ul tău
Du-te la editor