Explorateur gratuit de la conjecture de Collatz | Arbre 3n+1 et fractale

Comment ça marche

Ouvrez cette page et regardez l’arbre géométrique pousser à partir des suites de grêlons.
Choisissez un nombre de départ, ou passez à la fractale complexe : faites glisser pour vous déplacer, faites défiler pour zoomer.
Réglez les angles de virage ou les itérations, puis enregistrez un PNG ou ouvrez l’image dans l’éditeur PictorX.

Des règles à la portée d’un enfant

Partez d’un entier positif n. Si n est pair, remplacez-le par n/2. Si n est impair, remplacez-le par 3n+1. Recommencez. La conjecture affirme que toute valeur de départ finit par atteindre 1. Une fois à 1, vous entrez dans le cycle infini 1 → 4 → 2 → 1. Les suites montent et descendent avant de s’effondrer, d’où leur nom de nombres grêlons. En partant de 6, le chemin est 6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1.

Pourquoi il manque encore une preuve

Les ordinateurs ont vérifié tous les entiers bien au-delà de 2×10²¹, et chacun atteint 1. Il n’existe pas de preuve générale. Paul Erdős disait que les mathématiques ne sont pas encore prêtes pour ce genre de problème. En 2019, Terence Tao a prouvé que la conjecture est vraie pour presque tous les nombres : une avancée majeure, mais pas une solution complète. Une entreprise japonaise offre un prix de 120 millions de yens pour une preuve définitive.

Deux façons de voir les mathématiques

L’arbre géométrique traite chaque pas pair ou impair comme un virage dans le plan : une suite devient un chemin, et de nombreuses suites un corail. La fractale complexe étend la même règle à chaque point z = x + yi grâce à un commutateur trigonométrique qui vaut exactement n/2 sur les entiers pairs et exactement 3n+1 sur les entiers impairs. La couleur indique combien d’itérations il faut pour que |z| s’échappe.

Questions fréquemment posées

Qu’est-ce que la conjecture de Collatz ?

C’est l’affirmation que tout entier positif atteint 1 si l’on remplace sans cesse un n pair par n/2 et un n impair par 3n+1. Les règles sont simples ; une preuve générale, non.

Que montre cette application ?

Deux vues de la même règle. L’arbre géométrique transforme les suites de grêlons en chemins dans le plan. La fractale complexe itère une fonction de Collatz lisse dans le plan complexe et colore les pixels selon leur temps d’échappement.

Pourquoi appelle-t-on ces suites des nombres grêlons ?

Les valeurs montent et descendent souvent de nombreuses fois avant de tomber à 1, comme des grêlons soulevés puis lâchés dans un nuage d’orage. En partant de 6, on obtient 6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1.

La conjecture a-t-elle été démontrée ?

Non. Chaque entier vérifié finit à 1, et Terence Tao a montré que presque tous les nombres finissent par devenir très petits, mais une preuve pour toute valeur de départ reste à trouver.

Les calculs s’exécutent-ils dans mon navigateur ?

Oui. L’arbre, la suite et la fractale sont calculés sur votre appareil. Enregistrez un PNG ou ouvrez le canevas dans l’éditeur PictorX.