कोलाट्ज़ अनुमान

कोई भी धनात्मक पूर्णांक चुनें, फिर दो नियम अपनाएँ: अगर वह सम है तो 2 से भाग दें; अगर विषम है तो 3n+1 निकालें। कोलाट्ज़ अनुमान कहता है कि हर अनुक्रम आख़िरकार 1 तक पहुँचता है और 4 → 2 → 1 का चक्र दोहराता है। PictorX इन ओला संख्याओं को एक ज्यामितीय पेड़ और मैंडलब्रॉट-शैली के फ्रैक्टल में बदल देता है, जिसे आप समायोजित, एनिमेट और सेव कर सकते हैं। कोई शुरुआती संख्या चुनें, ज्यामितीय ओला-संख्या पेड़ उगाएँ, या निरंतर कोलाट्ज़ फ्रैक्टल में ज़ूम करें।

यह कैसे काम करता है

यह पेज खोलें और ओला अनुक्रमों से ज्यामितीय पेड़ को उगते देखें।
कोई शुरुआती संख्या चुनें, या सम्मिश्र फ्रैक्टल पर जाएँ और खिसकाने के लिए ड्रैग करें, ज़ूम के लिए स्क्रॉल करें।
मोड़ के कोण या पुनरावृत्तियाँ समायोजित करें, फिर PNG सेव करें या छवि को PictorX एडिटर में खोलें।

इतने सरल नियम कि बच्चा भी समझ ले

किसी धनात्मक पूर्णांक n से शुरू करें। अगर n सम है, तो उसे n/2 से बदलें। अगर n विषम है, तो उसे 3n+1 से बदलें। दोहराते रहें। अनुमान का दावा है कि हर शुरुआती मान आख़िरकार 1 तक पहुँचता है। 1 पर पहुँचते ही आप अनंत चक्र 1 → 4 → 2 → 1 में प्रवेश करते हैं। अनुक्रम गिरने से पहले ऊपर-नीचे उछलते हैं, इसीलिए इन्हें ओला संख्याएँ भी कहा जाता है। 6 से शुरू करें तो रास्ता 6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1 है।

प्रमाण अब भी क्यों नहीं है

कंप्यूटरों ने 2×10²¹ से बहुत आगे तक हर पूर्णांक की जाँच की है, और हर एक 1 तक पहुँचता है। कोई सामान्य प्रमाण मौजूद नहीं है। पॉल एर्डोश ने कहा था कि गणित अभी इस तरह की समस्या के लिए तैयार नहीं है। 2019 में टेरेंस ताओ ने साबित किया कि यह अनुमान लगभग सभी संख्याओं के लिए सही है, जो बड़ी प्रगति है पर पूरा हल नहीं। एक जापानी कंपनी ने निर्णायक प्रमाण के लिए 12 करोड़ येन का पुरस्कार रखा है।

गणित को देखने के दो तरीके

ज्यामितीय पेड़ हर सम या विषम चरण को समतल पर एक मोड़ मानता है, इसलिए एक अनुक्रम एक रास्ता बन जाता है और कई अनुक्रम एक कोरल। सम्मिश्र फ्रैक्टल उसी नियम को एक त्रिकोणमितीय स्विच के ज़रिए हर बिंदु z = x + yi तक फैलाता है, जो सम पूर्णांकों पर ठीक n/2 और विषम पूर्णांकों पर ठीक 3n+1 होता है। रंग बताता है कि |z| को बाहर निकलने में कितनी पुनरावृत्तियाँ लगती हैं।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

कोलाट्ज़ अनुमान क्या है?

यह दावा है कि अगर आप बार-बार सम n को n/2 से और विषम n को 3n+1 से बदलें, तो हर धनात्मक पूर्णांक 1 तक पहुँचता है। नियम सरल हैं; सामान्य प्रमाण नहीं।

यह ऐप क्या दिखाता है?

एक ही नियम के दो दृश्य। ज्यामितीय पेड़ ओला अनुक्रमों को समतल पर रास्तों में बदलता है। सम्मिश्र फ्रैक्टल सम्मिश्र तल पर एक सुचारु कोलाट्ज़ फ़ंक्शन को दोहराता है और पिक्सेल को पलायन समय के अनुसार रंगता है।

इन अनुक्रमों को ओला संख्याएँ क्यों कहते हैं?

मान अक्सर 1 पर गिरने से पहले कई बार ऊपर-नीचे होते हैं, जैसे तूफ़ानी बादल में ओले उठते और गिरते हैं। 6 से शुरू करें तो 6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1 मिलता है।

क्या यह अनुमान सिद्ध हो चुका है?

नहीं। जाँचा गया हर पूर्णांक 1 पर ख़त्म होता है, और टेरेंस ताओ ने दिखाया कि लगभग सभी संख्याएँ आख़िरकार बहुत छोटी हो जाती हैं, लेकिन हर शुरुआती मान के लिए प्रमाण अब भी बाकी है।

क्या गणना मेरे ब्राउज़र में चलती है?

हाँ। पेड़, अनुक्रम और फ्रैक्टल आपके डिवाइस पर ही गणना किए जाते हैं। PNG सेव करें या कैनवास को PictorX एडिटर में खोलें।