Gratis utforskare för Collatz-förmodan | 3n+1-träd och fraktal

Hur det fungerar

Öppna sidan och se det geometriska trädet växa fram ur hagelföljder.
Välj ett starttal eller byt till den komplexa fraktalen: dra för att panorera, skrolla för att zooma.
Justera vridningsvinklarna eller iterationerna och spara sedan en PNG eller öppna bilden i PictorX-redigeraren.

Regler som ett barn förstår

Börja med ett positivt heltal n. Är n jämnt, ersätt det med n/2. Är n udda, ersätt det med 3n+1. Upprepa. Förmodan hävdar att varje startvärde till slut når 1. När du når 1 hamnar du i den oändliga cykeln 1 → 4 → 2 → 1. Följderna studsar upp och ner innan de faller ihop, därför kallas de också hageltal. Börjar du på 6 blir vägen 6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1.

Varför ett bevis fortfarande saknas

Datorer har kontrollerat varje heltal långt bortom 2×10²¹, och vart och ett når 1. Något allmänt bevis finns inte. Paul Erdős sa att matematiken ännu inte är redo för den här sortens problem. 2019 bevisade Terence Tao att förmodan gäller för nästan alla tal – ett stort framsteg men ingen fullständig lösning. Ett japanskt företag har utlovat ett pris på 120 miljoner yen för ett definitivt bevis.

Två sätt att se matematiken

Det geometriska trädet behandlar varje jämnt eller udda steg som en vridning i planet, så att en följd blir en stig och många följder en korall. Den komplexa fraktalen utvidgar samma regel till varje punkt z = x + yi med en trigonometrisk omkopplare som är exakt n/2 på jämna heltal och exakt 3n+1 på udda. Färgen visar hur många iterationer det tar innan |z| flyr.

Ofta ställda frågor

Vad är Collatz-förmodan?

Det är påståendet att varje positivt heltal når 1 om man upprepade gånger ersätter ett jämnt n med n/2 och ett udda n med 3n+1. Reglerna är enkla; ett allmänt bevis är det inte.

Vad visar den här appen?

Två vyer av samma regel. Det geometriska trädet gör hagelföljder till stigar i planet. Den komplexa fraktalen itererar en jämn Collatz-funktion i det komplexa talplanet och färgar pixlar efter flykttid.

Varför kallas följderna hageltal?

Värdena stiger och sjunker ofta många gånger innan de faller till 1, på samma sätt som hagelkorn lyfts och faller i ett åskmoln. Börjar du på 6 får du 6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1.

Har förmodan bevisats?

Nej. Varje kontrollerat heltal slutar på 1, och Terence Tao visade att nästan alla tal till slut blir mycket små, men ett bevis för varje startvärde saknas fortfarande.

Körs matematiken i min webbläsare?

Ja. Trädet, följden och fraktalen beräknas på din enhet. Spara en PNG eller öppna canvasen i PictorX-redigeraren.