Explorador gratuito da conjetura de Collatz | Árvore 3n+1 e fractal

Como funciona

Abra esta página e veja a árvore geométrica crescer a partir de sequências de granizo.
Escolha um número inicial ou mude para o fractal complexo: arraste para deslocar e use a roda para aproximar.
Ajuste os ângulos de giro ou as iterações e depois guarde um PNG ou abra a imagem no editor do PictorX.

Regras tão simples que uma criança as entende

Comece com um inteiro positivo n. Se n for par, substitua-o por n/2. Se n for ímpar, substitua-o por 3n+1. Repita. A conjetura afirma que todo valor inicial acaba por chegar a 1. Ao chegar a 1 entra no ciclo infinito 1 → 4 → 2 → 1. As sequências sobem e descem antes de cair, por isso também se chamam números granizo. Começando em 6, o caminho é 6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1.

Porque ainda falta uma demonstração

Os computadores verificaram todos os inteiros muito além de 2×10²¹, e todos chegam a 1. Não existe uma demonstração geral. Paul Erdős disse que a matemática ainda não está preparada para este tipo de problema. Em 2019, Terence Tao provou que a conjetura é válida para quase todos os números, um grande avanço mas não uma solução completa. Uma empresa japonesa oferece um prémio de 120 milhões de ienes por uma demonstração definitiva.

Duas formas de ver a matemática

A árvore geométrica trata cada passo par ou ímpar como uma viragem no plano, por isso uma sequência torna-se um caminho e muitas sequências tornam-se um coral. O fractal complexo estende a mesma regra a cada ponto z = x + yi com um comutador trigonométrico que vale exatamente n/2 nos inteiros pares e exatamente 3n+1 nos ímpares. A cor regista quantas iterações são precisas para |z| escapar.

Perguntas frequentes

O que é a conjetura de Collatz?

É a afirmação de que todo o inteiro positivo chega a 1 se substituir repetidamente um n par por n/2 e um n ímpar por 3n+1. As regras são simples; uma demonstração geral não.

O que mostra esta aplicação?

Duas vistas da mesma regra. A árvore geométrica transforma sequências de granizo em caminhos no plano. O fractal complexo itera uma função de Collatz suave no plano complexo e colore os píxeis pelo tempo de escape.

Porque é que as sequências se chamam números granizo?

Os valores sobem e descem muitas vezes antes de caírem para 1, tal como o granizo é elevado e largado numa nuvem de tempestade. Começando em 6 obtém 6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1.

A conjetura já foi demonstrada?

Não. Todos os inteiros verificados terminam em 1, e Terence Tao mostrou que quase todos os números acabam por ficar muito pequenos, mas uma demonstração para qualquer valor inicial continua em aberto.

Os cálculos são feitos no meu navegador?

Sim. A árvore, a sequência e o fractal são calculados no seu dispositivo. Guarde um PNG ou abra a tela no editor do PictorX.