La congettura di Collatz
Scegli un intero positivo e segui due regole: se è pari, dividi per 2; se è dispari, calcola 3n+1. La congettura di Collatz afferma che ogni successione prima o poi arriva a 1 e poi ripete 4 → 2 → 1. PictorX trasforma questi numeri grandine in un albero geometrico e in un frattale in stile Mandelbrot da regolare, animare e salvare. Scegli un numero di partenza, fai crescere un albero geometrico dei numeri grandine o esplora con lo zoom il frattale di Collatz continuo.
Come funziona
- Apri questa pagina e guarda l’albero geometrico crescere dalle successioni grandine.
- Scegli un numero di partenza oppure passa al frattale complesso: trascina per spostarti, scorri per lo zoom.
- Regola gli angoli di svolta o le iterazioni, poi salva un PNG o apri l’immagine nell’editor di PictorX.
Regole alla portata di un bambino
Parti da un intero positivo n. Se n è pari, sostituiscilo con n/2. Se n è dispari, sostituiscilo con 3n+1. Ripeti. La congettura afferma che ogni valore di partenza prima o poi arriva a 1. Raggiunto 1 si entra nel ciclo infinito 1 → 4 → 2 → 1. Le successioni salgono e scendono prima di crollare, per questo si chiamano anche numeri grandine. Partendo da 6 il percorso è 6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1.
Perché manca ancora una dimostrazione
I computer hanno verificato ogni intero ben oltre 2×10²¹, e ciascuno arriva a 1. Una dimostrazione generale non esiste. Paul Erdős diceva che la matematica non è ancora pronta per problemi di questo tipo. Nel 2019 Terence Tao ha dimostrato che la congettura vale per quasi tutti i numeri: un grande passo avanti, ma non una soluzione completa. Un’azienda giapponese ha offerto un premio di 120 milioni di yen per una dimostrazione definitiva.
Due modi di vedere la matematica
L’albero geometrico tratta ogni passo pari o dispari come una svolta nel piano, così una successione diventa un percorso e molte successioni diventano un corallo. Il frattale complesso estende la stessa regola a ogni punto z = x + yi con un interruttore trigonometrico che vale esattamente n/2 sugli interi pari ed esattamente 3n+1 sugli interi dispari. Il colore indica quante iterazioni servono perché |z| fugga.
Domande frequenti
Che cos’è la congettura di Collatz?
È l’affermazione che ogni intero positivo arriva a 1 se si sostituisce ripetutamente un n pari con n/2 e un n dispari con 3n+1. Le regole sono semplici; una dimostrazione generale no.
Che cosa mostra questa app?
Due visioni della stessa regola. L’albero geometrico trasforma le successioni grandine in percorsi nel piano. Il frattale complesso itera una funzione di Collatz liscia sul piano complesso e colora i pixel in base al tempo di fuga.
Perché le successioni si chiamano numeri grandine?
I valori spesso salgono e scendono molte volte prima di cadere a 1, come i chicchi di grandine sollevati e lasciati cadere in una nube temporalesca. Partendo da 6 si ottiene 6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1.
La congettura è stata dimostrata?
No. Ogni intero verificato finisce a 1 e Terence Tao ha mostrato che quasi tutti i numeri prima o poi diventano molto piccoli, ma una dimostrazione per ogni valore di partenza è ancora aperta.
La matematica viene calcolata nel mio browser?
Sì. L’albero, la successione e il frattale vengono calcolati sul tuo dispositivo. Salva un PNG o apri la tela nell’editor di PictorX.
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