Het vermoeden van Collatz
Kies een willekeurig positief geheel getal en volg twee regels: is het even, deel dan door 2; is het oneven, bereken dan 3n+1. Het vermoeden van Collatz zegt dat elke reeks uiteindelijk 1 bereikt en dan 4 → 2 → 1 herhaalt. PictorX maakt van die hagelsteengetallen een geometrische boom en een fractal in Mandelbrot-stijl die je kunt afstellen, animeren en opslaan. Kies een startgetal, laat een geometrische hagelsteenboom groeien of zoom in op de continue Collatz-fractal.
Hoe het werkt
- Open deze pagina en zie de geometrische boom groeien uit hagelsteenreeksen.
- Kies een startgetal of schakel over naar de complexe fractal: sleep om te verschuiven, scrol om te zoomen.
- Stel de draaihoeken of iteraties af en sla daarna een PNG op of open de afbeelding in de PictorX-editor.
Regels die een kind begrijpt
Begin met een positief geheel getal n. Is n even, vervang het dan door n/2. Is n oneven, vervang het dan door 3n+1. Herhaal. Het vermoeden stelt dat elke startwaarde uiteindelijk 1 bereikt. Bij 1 kom je in de oneindige cyclus 1 → 4 → 2 → 1. Reeksen stuiteren op en neer voordat ze instorten, daarom heten ze ook hagelsteengetallen. Begin bij 6 en het pad is 6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1.
Waarom een bewijs nog ontbreekt
Computers hebben elk geheel getal tot ver voorbij 2×10²¹ gecontroleerd, en elk bereikt 1. Een algemeen bewijs bestaat niet. Paul Erdős zei dat de wiskunde nog niet klaar is voor dit soort problemen. In 2019 bewees Terence Tao dat het vermoeden voor bijna alle getallen geldt: een grote stap vooruit, maar geen volledige oplossing. Een Japans bedrijf heeft een prijs van 120 miljoen yen uitgeloofd voor een definitief bewijs.
Twee manieren om de wiskunde te zien
De geometrische boom behandelt elke even of oneven stap als een draai in het vlak, zodat een reeks een pad wordt en veel reeksen een koraal. De complexe fractal breidt dezelfde regel uit naar elk punt z = x + yi met een trigonometrische schakelaar die op even getallen precies n/2 is en op oneven getallen precies 3n+1. De kleur laat zien hoeveel iteraties het duurt voordat |z| ontsnapt.
Veelgestelde vragen
Wat is het vermoeden van Collatz?
Het is de bewering dat elk positief geheel getal 1 bereikt als je een even n steeds vervangt door n/2 en een oneven n door 3n+1. De regels zijn eenvoudig; een algemeen bewijs niet.
Wat laat deze app zien?
Twee weergaven van dezelfde regel. De geometrische boom maakt van hagelsteenreeksen paden in het vlak. De complexe fractal itereert een gladde Collatz-functie in het complexe vlak en kleurt pixels op ontsnappingstijd.
Waarom heten de reeksen hagelsteengetallen?
Waarden stijgen en dalen vaak vele malen voordat ze naar 1 zakken, zoals hagelstenen in een onweerswolk worden opgetild en weer vallen. Begin bij 6 en je krijgt 6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1.
Is het vermoeden bewezen?
Nee. Elk gecontroleerd geheel getal eindigt bij 1, en Terence Tao liet zien dat bijna alle getallen uiteindelijk heel klein worden, maar een bewijs voor elke startwaarde staat nog open.
Draait de wiskunde in mijn browser?
Ja. De boom, de reeks en de fractal worden op je apparaat berekend. Sla een PNG op of open het canvas in de PictorX-editor.
Gerelateerde gereedschappen
Het vermoeden van Collatz
Het vermoeden van Collatz is een van de beroemdste onopgeloste raadsels van de wiskunde: eenvoudige even/oneven-regels, hagelsteengetallen, Erdős, Terence Tao en twee manieren om de data als geometrie en als fractal te zien.
Langtons Mier
Draai Langtons mier in je browser. Bekijk symmetrie, chaos en de snelweg van 104 stappen, en probeer daarna meerkleurige regels, meerdere mieren, een zeshoekig raster en turmites.
Ulam-spiraal
Teken de Ulam-spiraal in je browser. Markeer de priemgetallen, lees de kwadratische formule van elke diagonaal en open Eulers ononderbroken reeks van 40 priemgetallen.
Naald van Buffon
Laat in je browser naalden op een gestreepte vloer vallen. Tel de kruisingen en zie hoe het experiment van Buffon uit 1777 π schat.
Vermenigvuldigingscirkels
Verbind elk getal op een cirkel met zijn veelvoud. Teken een tafel, een cardioïde of een draadfiguur op papier, met krijt of op hout.
Ontdek de wonderlijke wereld van fractals
Ontdek de wonderlijke wereld van fractals. Fractals zijn complexe, gedetailleerde geometrische patronen die overal in de natuur voorkomen.
Fractals
Lees hoe de Mandelbrotverzameling, Juliaverzamelingen, Newtonfractals en Novafractals ontstaan—en waarom inzoomen nooit zonder detail komt.
Lorenz-attractor
Interactieve Lorenz-attractor: stel a, b, f in, roteer in 3D, probeer neon-/inkt-/rooklooks en sla een PNG op.
De Lorenz-attractor
Hoe de weervergelijkingen van Edward Lorenz de chaostheorie onthulden: de vlinderattractor, gevoelige afhankelijkheid van beginvoorwaarden en waarom langetermijnvoorspellingen falen.
Klaar om het te proberen?
Open PictorX in uw browser - geen installatie, geen creditcard vereist om te starten.
Ga naar Editor