حدسية كولاتز
اختر أي عدد صحيح موجب، ثم اتبع قاعدتين: إذا كان زوجيًا فاقسمه على 2، وإذا كان فرديًا فاحسب 3n+1. تقول حدسية كولاتز إن كل متتالية تصل في النهاية إلى 1 ثم تدور في الحلقة 4 → 2 → 1. يحوّل PictorX أعداد البَرَد هذه إلى شجرة هندسية وكسيرية على طراز ماندلبرو يمكنك ضبطها وتحريكها وحفظها. اختر عددًا ابتدائيًا، ونمِّ شجرة البَرَد الهندسية، أو كبّر كسيرية كولاتز المتصلة.
كيف يعمل
- افتح هذه الصفحة وشاهد الشجرة الهندسية تنمو من متتاليات البَرَد.
- اختر عددًا ابتدائيًا، أو انتقل إلى الكسيرية المركّبة واسحب للتحريك ومرّر للتكبير.
- اضبط زوايا الانعطاف أو عدد التكرارات، ثم احفظ PNG أو افتح الصورة في محرر PictorX.
قواعد بسيطة يفهمها طفل
ابدأ بعدد صحيح موجب n. إذا كان n زوجيًا فاستبدله بـ n/2. وإذا كان فرديًا فاستبدله بـ 3n+1. كرّر ذلك. تزعم الحدسية أن كل قيمة ابتدائية تصل في النهاية إلى 1. وعند الوصول إلى 1 تدخل الدورة اللانهائية 1 → 4 → 2 → 1. تقفز المتتاليات صعودًا وهبوطًا قبل أن تنهار، ولهذا تُسمّى أيضًا أعداد البَرَد. إذا بدأت من 6 يكون المسار 6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1.
لماذا لا يزال البرهان غائبًا
فحصت الحواسيب كل عدد صحيح إلى ما بعد 2×10²¹ بكثير، وكلها تصل إلى 1. لكن لا يوجد برهان عام. قال بول إردوش إن الرياضيات ليست مستعدة بعد لهذا النوع من المسائل. وفي عام 2019 أثبت تيرينس تاو أن الحدسية صحيحة لجميع الأعداد تقريبًا، وهو تقدم كبير لكنه ليس حلًا كاملًا. وقد عرضت شركة يابانية جائزة قدرها 120 مليون ين لبرهان قاطع.
طريقتان لرؤية الرياضيات
تعامل الشجرة الهندسية كل خطوة زوجية أو فردية كانعطاف في المستوى، فتصبح المتتالية مسارًا وتصبح المتتاليات الكثيرة مرجانًا. وتمدّ الكسيرية المركّبة القاعدة نفسها إلى كل نقطة z = x + yi بمفتاح مثلثي يساوي n/2 تمامًا عند الأعداد الزوجية و3n+1 تمامًا عند الفردية. ويسجّل اللون عدد التكرارات اللازمة كي يفلت |z|.
الأسئلة المتداولة
ما حدسية كولاتز؟
هي الزعم بأن كل عدد صحيح موجب يصل إلى 1 إذا استبدلت مرارًا n الزوجي بـ n/2 وn الفردي بـ 3n+1. القواعد بسيطة، أما البرهان العام فليس كذلك.
ماذا يعرض هذا التطبيق؟
منظوران للقاعدة نفسها. تحوّل الشجرة الهندسية متتاليات البَرَد إلى مسارات في المستوى. وتكرّر الكسيرية المركّبة دالة كولاتز ملساء في المستوى المركّب وتلوّن البكسلات بحسب زمن الإفلات.
لماذا تُسمّى المتتاليات أعداد البَرَد؟
غالبًا ما ترتفع القيم وتنخفض مرات عديدة قبل أن تهبط إلى 1، كما ترتفع حبات البَرَد وتسقط داخل سحابة العاصفة. إذا بدأت من 6 تحصل على 6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1.
هل أُثبتت الحدسية؟
لا. كل عدد صحيح فُحص ينتهي عند 1، وأظهر تيرينس تاو أن جميع الأعداد تقريبًا تصبح في النهاية صغيرة جدًا، لكن البرهان لكل قيمة ابتدائية لا يزال مفتوحًا.
هل تجري الحسابات في متصفحي؟
نعم. تُحسب الشجرة والمتتالية والكسيرية على جهازك. احفظ PNG أو افتح اللوحة في محرر PictorX.
الأدوات ذات الصلة
حدسية كولاتز
حدسية كولاتز من أشهر الألغاز غير المحلولة في الرياضيات: قواعد زوجي/فردي بسيطة، وأعداد البَرَد، وإردوش، وتيرينس تاو، وطريقتان لرؤية البيانات هندسةً وكسيريةً.
نملة لانغتون
شغّل نملة لانغتون في متصفحك. شاهد التماثل والفوضى والطريق السريع ذا الـ104 خطوات، ثم جرّب قواعد متعددة الألوان وعدة نملات وشبكة سداسية والتورميت.
حلزون أولام
ارسم حلزون أولام في متصفحك. علِّم الأعداد الأولية، واقرأ كثير الحدود التربيعي على كل قطر، وافتح سلسلة أويلر المتصلة من 40 عددًا أوليًا.
إبرة بوفون
أسقط الإبر على أرضية مخططة في متصفحك. عُدّ التقاطعات وشاهد تجربة بوفون عام 1777 وهي تقدّر π.
دوائر الضرب
صِل كل عدد على دائرة بمضاعفه. ارسم جدول ضرب أو منحنى قلبيًا أو شكلًا من الخيوط على الورق أو بالطباشير أو على الخشب.
استكشف عالم الكسيريات الرائع
استكشف عالم الكسيريات الرائع. الكسيريات أنماط هندسية معقدة ودقيقة توجد في الطبيعة كلها.
الكسيريات
تعرّف على كيفية توليد مجموعة ماندلبروت ومجموعات جوليا وفركتلات نيوتن وفركتلات نوفا—ولماذا لا ينفد التفصيل أبدًا عند التكبير.
جاذب لورنز
جاذب Lorenz تفاعلي: اضبط a وb وf، ودور في ثلاثي الأبعاد، وجرّب مظاهر نيون/حبر/دخان، واحفظ PNG.
جاذب لورنز
كيف كشفت معادلات الطقس لإدوارد لورنز نظرية الفوضى: جاذب الفراشة، والاعتماد الحساس على الشروط الابتدائية، ولماذا تفشل التوقعات طويلة الأمد.
هل أنت مستعد لتجربتها؟
افتح PictorX في متصفحك - بدون تثبيت، ولا يلزم وجود بطاقة ائتمان للبدء.
الانتقال إلى المحرر