关于 Collatz 猜想 | 3n+1 问题

规则

任选一个正整数 n,反复应用两条规则:如果是偶数,就除以 2;如果是奇数,就乘以 3 再加 1。该猜想认为,任何起始值最终都会到达 1。到了 1,你就进入无限循环:1 → 4 → 2 → 1。

示例:从 6 开始

6 是偶数,所以 6/2 = 3。3 是奇数,所以 3×3+1 = 10。接着 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1。数值在坠落前忽高忽低,这就是这些序列也被称为冰雹数的原因。

为什么这么难

计算机已验证远超 2×10²¹ 的所有整数,每一个都终止于 1,但严密的证明仍然缺失。保罗·埃尔德什曾说,数学还没有准备好应对这类问题。2019 年,陶哲轩证明了该猜想对几乎所有数成立——这是一项重大突破,但绝对情形依然悬而未决。一家日本公司为最终解答悬赏 1.2 亿日元(约 75 万欧元)。

方法一:几何树

不要把 n 对步数作图,而是把序列当作平面上的导航。每个点有位置 (x, y) 和朝向 θ。长度为 L 的一步得到 x' = x + L cos θ 和 y' = y + L sin θ;数字越大,L 越短,与 n / (1 + n^1.3) 成正比,因此冲得很高的部分会卷成叶状分支。下一个朝向取决于奇偶:偶数转一个小角度 α,奇数朝另一侧转 β。设计者常选 α ≠ β——例如 α = 0.15、β = 0.28——因为典型序列中偶数步多于奇数步,这种不平衡赋予珊瑚自然的卷曲。从 1 生长出许多序列,或从位于 1 的树干向树叶反向行走。

方法二:复 Collatz 分形

通常的 Collatz 映射是离散的。要绘制曼德博式的分形,需要一个在整个复平面上光滑的函数。三角开关可以做到: f(z) = (z/2) cos²(πz/2) + (3z+1) sin²(πz/2) 在偶数上,cos² = 1、sin² = 0,于是 f 化为 z/2;在奇数上权重互换,f 化为 3z+1。正弦和余弦在整数之间同样有定义,因此每个像素 z0 = x + yi 都可以迭代。颜色记录 |z| 逃出半径 R 所需的步数。逃逸与被捕获之间无限精细的边界,就是分形。