独立事件
如果知道一个事件的结果不会改变另一个事件的概率，这两个事件就是独立的。抛硬币、掷骰子和转轮盘都是独立的：硬币、骰子和轮盘都不会记录之前的结果。对公平硬币来说，在第 1 到第 8 次都是正面的条件下，第 9 次出正面的概率就是出正面的概率：½。
连串不太可能，下一次却不然
在开始之前，连续八次正面的概率是 (½)⁸ = 1/256，连续九次正面是 1/512。从八次到九次相差一个因子 ½：再出一次正面的概率。这个谬误把整个连串的概率（很小）和连串已经发生后下一次的概率（½）混为一谈。任何一个特定的九次抛掷序列，比如“正反反正正反正反正”，都和九次正面一样不太可能。
连串出现得有多频繁
长连串比直觉认为的常见得多。公平硬币抛 100 次，最长的正面或反面连串通常有 6、7 或 8 次，而至少 5 次的连串几乎在每个序列中都会出现。让人们写下一个随机序列时，他们在正反面之间切换得太频繁，并且会避开长连串。老师有时就是这样识破编造的抛硬币作业的。
蒙特卡洛，1913 年
1913 年 8 月 18 日，蒙特卡洛赌场一张轮盘赌桌上的小球连续 26 次落在黑色上。随着连串变长，赌客们把赌注一堆堆押在红色上，深信轮盘必须自我纠正。然而每一次转动出红色的概率都一样：37 个格子中的 18 个。从那天晚上起，赌徒谬误也被称为蒙特卡洛谬误。
大数定律不需要记忆
如果硬币不会补偿，为什么正面的比例会接近 ½？因为固定的多出部分会被稀释。20 次抛掷中多出十次正面是很大的偏差；同样的十次放在一百万次抛掷中就看不见了。正反面次数之差通常像 √N 那样增长，而比例会收敛，因为 √N/N 越来越小。平均律常被误解为一种把结果往回推的力量；其实它只是这种稀释。
过去真正起作用的时候
当试验不独立时，之前的结果确实会改变概率。抽牌后不放回会改变整副牌：抽出很多红牌之后，黑牌就更可能出现。一个不平衡的轮盘或一个疲惫的选手也可能产生真实的规律。谬误在于在没有依赖关系的地方假设存在这种依赖，比如公平的硬币、公平的骰子或彩票开奖。
在 PictorX 中探索
打开赌徒谬误模拟器，硬币就会自己抛起来，每秒 100 次。纸带显示最近的抛掷：长度至少达到所选连串长度的连串会加上阴影，紧随其后的那一次会带一个彩色圆环，表示它是同一面还是另一面。打开“只看连串之后的抛掷”，就能列出这些时刻，最新的排在最前，并显示其中相同的比例。图表显示长度从 1 到 10 及以上的连串的这一比例，并带有围绕 50% 的 95% 误差线。当某个连串达到你设定的长度时，会弹出提示，随后显示下一次的结果。收藏的“慢速：看清每一次抛掷”每秒抛两次；点击硬币可以自己抛。
常见问题
赌徒谬误和蒙特卡洛谬误是一回事吗？
是的。第二个名字来自 1913 年蒙特卡洛赌场的一局轮盘赌，当时黑色连续出现 26 次，押红色的赌客损失惨重。
硬币会让正反面扯平吗？
只在比例上。抛很多次之后，正面的比例会接近 50%，但硬币不会纠正领先；领先只是被之后的抛掷稀释了。
连续 10 次正面的概率是多少？
(½)¹⁰ = 1/1024，这是从第一次抛掷之前看的。但在九次正面之后，第十次是正面的概率是 ½。
什么是逆赌徒谬误？
从一个不太可能的结果，比如掷出双六，推断在它之前一定已经掷过很多次。无论是第一次还是第一千次，一次投掷掷出双六的可能性都一样。
为什么这个应用会计算相互重叠的连串？
因为每一次抛掷都是对这一说法的一次新检验。在一个七次正面的连串里，第 5、第 6 和第 7 次正面之后，都刚刚出现了连续五次正面，而每一个这样的时刻都在问：下一次会是什么？
相关工具
赌徒谬误
每秒抛 100 次公平的硬币，看看每次连续 5 次或 8 次正面之后会出现什么。仍然是 50/50：硬币没有记忆。
蒙提霍尔问题
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蒙特卡洛求 π
向内含圆的正方形随机投掷成千上万支飞镖，看落在圆内的比例如何变成 π。可以开始、停止，并观察估计值如何收敛。
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