蒙提霍尔问题

谜题

你在参加一个游戏节目，可以从三扇门中选一扇。一扇门后是汽车，其余门后是山羊。你选了一扇门，比如 1 号门。知道门后有什么的主持人打开了另一扇门，比如 3 号门，门后是一只山羊。然后他问你：要不要换到 2 号门？换门对你有利吗？

规则很关键：主持人总会打开一扇门，但从不打开你选的门，也从不打开有汽车的门，而且他总会让你选择是否换门。

用一张表列出所有情况

假设你总是选 1 号门。汽车在 1、2、3 号门后的概率各为 1/3。

汽车在 1 号门后：蒙提打开 2 号或 3 号门。不换赢，换门输。 汽车在 2 号门后：蒙提只能打开 3 号门。不换输，换门赢。 汽车在 3 号门后：蒙提只能打开 2 号门。不换输，换门赢。

在三种可能性相等的情况中，不换只在一种情况下赢，换门在两种情况下赢。蒙提开门时，1 号门本身没有任何变化，所以它仍是 1/3，其余的 2/3 全部归于他留着没开的那扇门。

贝叶斯定理

假设你选了 1 号门，蒙提打开了 3 号门。在他开门之前，每扇门后有汽车的概率都是 1/3。如果汽车在 1 号门后，他会以 1/2 的概率打开 3 号门，因为他可以在 2 号和 3 号之间选择。如果汽车在 2 号门后，他一定会打开 3 号门。如果汽车在 3 号门后，他绝不会打开它。贝叶斯定理用这些似然对先验概率加权：

P(汽车在 1 | 打开 3) = (1/3 · 1/2) / (1/3 · 1/2 + 1/3 · 1 + 1/3 · 0) = 1/3 P(汽车在 2 | 打开 3) = (1/3 · 1) / (1/2) = 2/3

主持人留着没开的那扇门藏着汽车的次数是你那扇门的两倍。

更多的门

有 n 扇门时，你选一扇，主持人打开 n − 2 扇有山羊的门，只留另一扇门关着。不换赢的概率是 1/n，换门是 (n − 1)/n。有 100 扇门时，坚持最初的选择就等于把赌注押在 1% 的机会上，而对面的主持人在 99 扇门中特意避开了某一扇。这个应用最多支持 100 扇门。

当主持人不知情时

如果主持人随机打开其他门，推理就变了。三扇门时，他有三分之一的时候会露出汽车，这些局不算。在其余的局里，不换和换门各赢一半：在随机打开的门后看到山羊，这本身就是一条证据，它让你自己的门后藏着汽车的可能性变大，恰好大到五五开。答案不仅取决于你看到了什么，还取决于它是怎样被展示出来的。

1990 年的争论

1975 年，史蒂夫·塞尔文在写给《The American Statistician》的一封信中提出了这个谜题，并以《Let's Make a Deal》的主持人蒙提·霍尔为它命名。1990 年 9 月，一位读者在《Parade》杂志的专栏中向玛丽莲·沃斯·莎凡特提出这个问题，她回答：换门。谜题由此出名。大约 10,000 名读者来信，其中近千人拥有博士学位，大多数人都说她错了。她是对的。保罗·埃尔德什拒绝相信这个答案，直到一位同事给他看了计算机模拟，而这正是这个应用所做的事。

在 PictorX 中探索

打开蒙提霍尔问题，三扇门正等着你。点击其中一扇，看蒙提打开一扇后面是山羊的门，然后按“不换”或“换门”，也可以直接点击你的门或另一扇关着的门。下方的统计会记录每一局，图表显示不换门和换门的胜率随局数累积的变化，虚线标出理论值。“自动玩”最多可玩 100,000 局，每秒最多 2,000 局，可以一半不换、一半换门，也可以总是只用其中一种。选 10 扇或 100 扇门，体会为什么换门更好；或者让蒙提随机开门，看优势消失。