À propos de l’erreur du joueur | Indépendance, séries et loi des moyennes

Des événements indépendants

Deux événements sont indépendants quand connaître le résultat de l’un ne change pas la probabilité de l’autre. Les lancers de pièce, les lancers de dé et les tours de roulette sont indépendants : la pièce, le dé et la roue ne gardent aucune trace des résultats précédents. Pour une pièce équilibrée, la probabilité de face au 9e lancer, sachant que les lancers 1 à 8 ont donné face, est simplement la probabilité de face : ½.

Une série est improbable, le lancer suivant ne l’est pas

Avant de commencer, obtenir huit fois face d’affilée a une probabilité de (½)⁸ = 1/256, et neuf fois face d’affilée, de 1/512. Le passage de huit à neuf est un facteur ½ : la probabilité d’obtenir face une fois de plus. L’erreur confond la probabilité de toute la série, qui est petite, avec celle du lancer suivant une fois la série réalisée, qui est de ½. Chaque suite particulière de neuf lancers, comme FPPFFPFPF, est exactement aussi improbable que neuf fois face.

À quelle fréquence les séries apparaissent

Les longues séries sont bien plus fréquentes que ne le dit l’intuition. Sur 100 lancers d’une pièce équilibrée, la plus longue série de face ou de pile mesure généralement 6, 7 ou 8, et une série d’au moins 5 apparaît dans presque toutes les suites. Quand on leur demande d’écrire une suite au hasard, les gens alternent trop souvent entre pile et face et évitent les longues séries. C’est ainsi que des enseignants repèrent des devoirs de pile ou face inventés.

Monte Carlo, 1913

Le 18 août 1913, la bille d’une table de roulette du casino de Monte Carlo est tombée sur le noir 26 fois de suite. À mesure que la série grandissait, les joueurs ont empilé leurs mises sur le rouge, convaincus que la roue devait se corriger. Chaque tour avait pourtant la même probabilité de rouge : 18 des 37 cases. Depuis ce soir-là, l’erreur du joueur est aussi appelée l’erreur de Monte Carlo.

La loi des grands nombres n’a pas besoin de mémoire

Si la pièce ne compense rien, pourquoi la part de face s’approche-t-elle de ½ ? Parce qu’un excédent fixe se dilue. Dix fois face en trop sur 20 lancers, c’est un gros écart ; les mêmes dix sur un million de lancers sont invisibles. L’écart entre face et pile croît typiquement comme √N, tandis que la proportion converge, car √N/N diminue. La loi des moyennes est souvent comprise à tort comme une force qui ramène les résultats ; ce n’est que cette dilution.

Quand le passé compte vraiment

Quand les essais ne sont pas indépendants, les résultats précédents changent bel et bien les chances. Tirer des cartes sans les remettre change le paquet : après beaucoup de cartes rouges, les noires deviennent plus probables. Une roue déséquilibrée ou un joueur fatigué peuvent aussi produire de vrais motifs. L’erreur consiste à supposer une telle dépendance là où il n’y en a pas, comme avec une pièce équilibrée, un dé non truqué ou un tirage de loterie.

L’explorer dans PictorX

Ouvrez le simulateur de l’erreur du joueur : la pièce se lance toute seule, 100 fois par seconde. La bande montre les derniers lancers : les séries d’au moins la longueur choisie sont ombrées, et le lancer juste après reçoit un anneau coloré qui indique s’il a donné la même face ou l’autre. Activez « Seulement les lancers après une série » pour lister ces moments, du plus récent au plus ancien, avec la part de lancers identiques. Le graphique montre cette part pour des séries de 1 à 10 ou plus, avec des barres d’erreur à 95 % autour de 50 %. Quand une série atteint votre longueur, un encadré l’annonce, puis montre le lancer suivant. Le favori « Lent : suivre chaque lancer » lance deux fois par seconde ; cliquez sur la pièce pour la lancer vous-même.

Questions fréquemment posées

L’erreur du joueur est-elle la même chose que l’erreur de Monte Carlo ?

Oui. Le second nom vient d’une partie de roulette au casino de Monte Carlo en 1913, où le noir est sorti 26 fois de suite et où des joueurs ont lourdement perdu en misant sur le rouge.

Une pièce équilibre-t-elle pile et face ?

Seulement en proportion. Sur de nombreux lancers, la part de face s’approche de 50 %, mais la pièce ne corrige pas une avance ; l’avance est diluée par les lancers qui suivent.

Quelle est la probabilité d’obtenir 10 fois face d’affilée ?

(½)¹⁰ = 1/1024, vu d’avant le premier lancer. Mais après neuf fois face, la probabilité que le dixième lancer donne face est de ½.

Qu’est-ce que l’erreur du joueur inversée ?

Conclure d’un résultat improbable, comme un double six, que de nombreux lancers ont dû avoir lieu avant. Un lancer a autant de chances de donner un double six, qu’il soit le premier ou le millième.

Pourquoi l’application compte-t-elle des séries qui se chevauchent ?

Parce que chaque lancer est un nouveau test de l’affirmation. Après les 5e, 6e et 7e lancers d’une série de sept fois face, on venait d’obtenir cinq fois face d’affilée, et chacun de ces moments pose la question du lancer suivant.