Der Spielerfehlschluss
Der Spielerfehlschluss ist der Glaube, dass frühere Ergebnisse eines Zufallsprozesses die Chancen des nächsten verändern. Er fühlt sich natürlich an, er hat Vermögen gekostet, und er ist falsch, sobald die Versuche unabhängig sind.
Unabhängige Ereignisse
Zwei Ereignisse sind unabhängig, wenn das Wissen um den Ausgang des einen die Wahrscheinlichkeit des anderen nicht verändert. Münzwürfe, Würfelwürfe und Roulettedrehungen sind unabhängig: Münze, Würfel und Kessel führen kein Buch über frühere Ergebnisse. Bei einer fairen Münze ist die Chance auf Kopf beim 9. Wurf, wenn die Würfe 1 bis 8 Kopf zeigten, einfach die Chance auf Kopf: ½.
Eine Serie ist unwahrscheinlich, der nächste Wurf nicht
Bevor Sie anfangen, hat achtmal Kopf in Folge die Wahrscheinlichkeit (½)⁸ = 1/256 und neunmal Kopf in Folge 1/512. Der Schritt von acht zu neun ist ein Faktor ½: die Chance auf einen weiteren Kopf. Der Fehlschluss verwechselt die Chance der ganzen Serie, die klein ist, mit der Chance des nächsten Wurfs, nachdem die Serie bereits passiert ist, und die ist ½. Jede bestimmte Folge von neun Würfen, etwa KZZKKZKZK, ist genauso unwahrscheinlich wie neunmal Kopf.
Wie oft Serien vorkommen
Lange Serien sind viel häufiger, als die Intuition sagt. Bei 100 Würfen einer fairen Münze ist die längste Serie von Kopf oder Zahl meist 6, 7 oder 8 lang, und eine Serie von mindestens 5 taucht in fast jeder Folge auf. Sollen Menschen eine zufällige Folge aufschreiben, wechseln sie zu oft zwischen Kopf und Zahl und vermeiden lange Serien. Daran erkennen Lehrkräfte manchmal erfundene Münzwurf-Hausaufgaben.
Monte Carlo, 1913
Am 18. August 1913 fiel die Kugel an einem Roulettetisch im Casino von Monte Carlo 26-mal hintereinander auf Schwarz. Während die Serie wuchs, häuften die Spieler ihre Einsätze auf Rot, überzeugt, dass sich der Kessel korrigieren müsse. Jede Drehung hatte trotzdem dieselbe Chance auf Rot: 18 der 37 Fächer. Nach diesem Abend heißt der Spielerfehlschluss auch Monte-Carlo-Fehlschluss.
Das Gesetz der großen Zahlen braucht kein Gedächtnis
Wenn die Münze nichts ausgleicht, warum nähert sich der Anteil von Kopf dann ½? Weil ein fester Überschuss verdünnt wird. Zehnmal Kopf zu viel bei 20 Würfen ist eine große Abweichung; dieselben zehn bei einer Million Würfen sind unsichtbar. Der Unterschied zwischen Kopf und Zahl wächst typischerweise wie √N, während der Anteil konvergiert, denn √N/N schrumpft. Das Gesetz des Ausgleichs wird oft als Kraft missverstanden, die Ergebnisse zurückdrängt; es ist nur diese Verdünnung.
Wenn die Vergangenheit doch zählt
Wenn Versuche nicht unabhängig sind, verändern frühere Ergebnisse durchaus die Chancen. Wer Karten zieht, ohne sie zurückzulegen, verändert den Stapel: Nach vielen roten Karten sind schwarze wahrscheinlicher. Auch ein unwuchtiger Kessel oder ein müder Spieler kann echte Muster erzeugen. Der Fehlschluss besteht darin, eine solche Abhängigkeit anzunehmen, wo es keine gibt, wie bei einer fairen Münze, einem fairen Würfel oder einer Lottoziehung.
In PictorX erkunden
Öffnen Sie den Spielerfehlschluss-Simulator, und die Münze wird von selbst geworfen, 100-mal pro Sekunde. Der Streifen zeigt die letzten Würfe: Serien von mindestens der gewählten Serienlänge sind schattiert, und der Wurf direkt danach bekommt einen farbigen Ring, der zeigt, ob er dieselbe Seite oder die andere zeigte. Schalten Sie „Nur die Würfe nach einer Serie“ ein, um diese Momente aufzulisten, die neuesten zuerst, mit dem Anteil, der gleich war. Das Diagramm zeigt diesen Anteil für Serien von 1 bis 10 oder mehr, mit 95-%-Fehlerbalken um 50 %. Erreicht eine Serie Ihre Länge, meldet ein Hinweis das und zeigt dann den nächsten Wurf. Der Favorit „Langsam: jeden Wurf verfolgen“ wirft zweimal pro Sekunde; klicken Sie auf die Münze, um selbst zu werfen.
Häufig gestellte Fragen
Ist der Spielerfehlschluss dasselbe wie der Monte-Carlo-Fehlschluss?
Ja. Der zweite Name stammt von einem Roulettespiel im Casino von Monte Carlo im Jahr 1913, bei dem 26-mal in Folge Schwarz kam und Spieler mit Wetten auf Rot schwer verloren.
Gleicht eine Münze Kopf und Zahl aus?
Nur im Verhältnis. Über viele Würfe nähert sich der Anteil von Kopf 50 %, aber die Münze korrigiert keinen Vorsprung; der Vorsprung wird von den folgenden Würfen verdünnt.
Wie groß ist die Chance auf 10-mal Kopf in Folge?
(½)¹⁰ = 1/1024, vor dem ersten Wurf gesehen. Aber nach neunmal Kopf ist die Chance, dass der zehnte Wurf Kopf zeigt, ½.
Was ist der umgekehrte Spielerfehlschluss?
Aus einem unwahrscheinlichen Ergebnis, etwa einem Sechserpasch, zu schließen, dass davor viele Würfe stattgefunden haben müssen. Ein Wurf ist genauso wahrscheinlich ein Sechserpasch, ob er der erste oder der tausendste ist.
Warum zählt die App überlappende Serien?
Weil jeder Wurf ein neuer Test der Behauptung ist. Nach dem 5., 6. und 7. Kopf einer Siebenerserie war gerade fünfmal Kopf in Folge gefallen, und jeder dieser Momente fragt, was der nächste Wurf bringt.
Verwandte Tools
Spielerfehlschluss
Werfen Sie eine faire Münze 100-mal pro Sekunde und sehen Sie, was nach jeder Serie von 5 oder 8 Mal Kopf in Folge kommt. Es bleibt 50/50: Die Münze hat kein Gedächtnis.
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