عن مغالطة المقامر | الاستقلال والسلاسل وقانون المتوسطات

الأحداث المستقلة

يكون حدثان مستقلين عندما لا تغيّر معرفة نتيجة أحدهما احتمال الآخر. رميات العملة ورميات النرد ودورات الروليت مستقلة: فالعملة والنرد والعجلة لا تحتفظ بأي سجل للنتائج السابقة. في عملة عادلة، احتمال ظهور الصورة في الرمية التاسعة، إذا ظهرت الصورة في الرميات من 1 إلى 8، هو ببساطة احتمال ظهور الصورة: ½.

السلسلة غير مرجحة، أما الرمية التالية فلا

قبل أن تبدأ، احتمال ظهور الصورة ثماني مرات متتالية هو (½)⁸ = 1/256، وتسع مرات متتالية 1/512. والخطوة من ثمانٍ إلى تسع هي عامل ½: احتمال ظهور الصورة مرة أخرى. تخلط المغالطة بين احتمال السلسلة كلها، وهو صغير، واحتمال الرمية التالية بعد أن تكون السلسلة قد حدثت، وهو ½. وأي متتالية محددة من تسع رميات، مثل ص ك ك ص ص ك ص ك ص، نادرة تمامًا بقدر ظهور الصورة تسع مرات متتالية.

كم مرة تظهر السلاسل

السلاسل الطويلة أكثر شيوعًا بكثير مما يوحي به الحدس. في 100 رمية لعملة عادلة يكون أطول تكرار للصورة أو للكتابة عادة بطول 6 أو 7 أو 8، وتظهر سلسلة من 5 على الأقل في كل متتالية تقريبًا. وعندما يُطلب من الناس كتابة متتالية عشوائية، فإنهم يبدّلون بين الصورة والكتابة كثيرًا جدًا ويتجنبون السلاسل الطويلة. وهذه إحدى الطرق التي يكشف بها المعلمون واجبات رمي العملة المختلقة.

مونت كارلو، 1913

في 18 أغسطس 1913 سقطت الكرة على طاولة روليت في كازينو مونت كارلو على الأسود 26 مرة متتالية. ومع طول السلسلة كدّس اللاعبون رهاناتهم على الأحمر، مقتنعين بأن العجلة لا بد أن تصحح نفسها. ومع ذلك كان لكل دورة الاحتمال نفسه للأحمر: 18 من الخانات الـ37. ومنذ تلك الليلة تُسمّى مغالطة المقامر أيضًا مغالطة مونت كارلو.

قانون الأعداد الكبيرة لا يحتاج إلى ذاكرة

إذا كانت العملة لا تعوّض، فلماذا تقترب نسبة الصورة من ½؟ لأن الفائض الثابت يتلاشى. زيادة الصورة بعشر مرات في 20 رمية انحراف كبير؛ أما الزيادة نفسها في مليون رمية فلا تُرى. ينمو الفرق بين الصورة والكتابة عادة مثل √N، بينما تتقارب النسبة، لأن √N/N يصغر. كثيرًا ما يُساء فهم قانون المتوسطات على أنه قوة تدفع النتائج إلى الوراء؛ وهو ليس إلا هذا التلاشي.

عندما يكون للماضي أثر فعلًا

عندما لا تكون المحاولات مستقلة، فإن النتائج السابقة تغيّر الاحتمالات فعلًا. سحب الأوراق دون إعادتها يغيّر الرزمة: بعد كثير من الأوراق الحمراء تصبح الأوراق السوداء أكثر احتمالًا. كما يمكن لعجلة غير متوازنة أو لاعب متعب أن ينتجا أنماطًا حقيقية. والمغالطة هي افتراض مثل هذا الاعتماد حيث لا وجود له، كما في عملة عادلة أو نرد عادل أو سحب يانصيب.

استكشفها في PictorX

افتح محاكي مغالطة المقامر فتجد العملة تُرمى من تلقاء نفسها، 100 مرة في الثانية. يعرض الشريط آخر الرميات: السلاسل التي يبلغ طولها طول السلسلة المختار على الأقل تكون مظللة، والرمية التي تليها مباشرة تحصل على حلقة ملونة تبيّن هل جاءت بالوجه نفسه أم بالوجه الآخر. فعّل «فقط الرميات بعد سلسلة» لعرض هذه اللحظات في قائمة، الأحدث أولًا، مع نسبة ما جاء منها مطابقًا. ويعرض المخطط تلك النسبة للسلاسل من 1 إلى 10 أو أكثر، مع أشرطة خطأ 95% حول 50%. وعندما تبلغ سلسلة الطول الذي اخترته، يعلن ذلك تنبيه ثم يعرض الرمية التالية. أما المفضّل «بطيء: شاهد كل رمية» فيرمي مرتين في الثانية؛ وانقر على العملة لترميها بنفسك.

الأسئلة المتداولة

هل مغالطة المقامر هي نفسها مغالطة مونت كارلو؟

نعم. يأتي الاسم الثاني من لعبة روليت في كازينو مونت كارلو عام 1913، ظهر فيها الأسود 26 مرة متتالية وخسر اللاعبون الذين راهنوا على الأحمر خسائر فادحة.

هل توازن العملة بين الصورة والكتابة؟

في النسبة فقط. على مدى رميات كثيرة تقترب نسبة الصورة من 50%، لكن العملة لا تصحح التقدم؛ بل يتلاشى التقدم بالرميات التي تليه.

ما احتمال ظهور الصورة 10 مرات متتالية؟

(½)¹⁰ = 1/1024، منظورًا إليه قبل الرمية الأولى. لكن بعد ظهور الصورة تسع مرات، احتمال أن تكون الرمية العاشرة صورة هو ½.

ما مغالطة المقامر المعكوسة؟

أن تستنتج من نتيجة غير مرجحة، مثل ستتين على النردين، أنه لا بد أن رميات كثيرة سبقتها. فاحتمال أن تعطي رمية ما ستتين هو نفسه، سواء كانت الرمية الأولى أم الألف.

لماذا يحسب التطبيق السلاسل المتداخلة؟

لأن كل رمية اختبار جديد للادعاء. بعد الصورة الخامسة والسادسة والسابعة في سلسلة من سبع، كانت الصورة قد ظهرت للتو خمس مرات متتالية، وكل لحظة من هذه اللحظات تسأل عما ستكون عليه الرمية التالية.