Over de gokkersdenkfout | Onafhankelijkheid, reeksen en de wet van de gemiddelden

Onafhankelijke gebeurtenissen

Twee gebeurtenissen zijn onafhankelijk als het kennen van de uitkomst van de ene de kans op de andere niet verandert. Worpen met een munt, worpen met een dobbelsteen en draaien van een roulettewiel zijn onafhankelijk: de munt, de dobbelsteen en het wiel houden geen boek bij van eerdere uitkomsten. Bij een eerlijke munt is de kans op kop bij worp 9, gegeven kop bij worp 1 tot en met 8, gewoon de kans op kop: ½.

Een reeks is onwaarschijnlijk, de volgende worp niet

Voordat je begint, heeft acht keer kop op rij een kans van (½)⁸ = 1/256, en negen keer kop op rij 1/512. De stap van acht naar negen is een factor ½: de kans op nog één keer kop. De denkfout verwart de kans op de hele reeks, die klein is, met de kans op de volgende worp als de reeks al gebeurd is, en die is ½. Elke bepaalde rij van negen worpen, zoals KMMKKMKMK, is precies even onwaarschijnlijk als negen keer kop.

Hoe vaak reeksen voorkomen

Lange reeksen komen veel vaker voor dan je intuïtie zegt. Bij 100 worpen met een eerlijke munt is de langste reeks kop of munt meestal 6, 7 of 8 lang, en een reeks van minstens 5 duikt op in bijna elke rij. Vraag mensen een willekeurige rij op te schrijven, en ze wisselen te vaak tussen kop en munt en vermijden lange reeksen. Zo ontmaskeren leraren soms verzonnen huiswerk over kop of munt.

Monte Carlo, 1913

Op 18 augustus 1913 viel het balletje aan een roulettetafel in het casino van Monte Carlo 26 keer achter elkaar op zwart. Terwijl de reeks groeide, stapelden spelers hun inzetten op rood, ervan overtuigd dat het wiel zichzelf moest corrigeren. Elke draai had nog steeds dezelfde kans op rood: 18 van de 37 vakjes. Naar die avond heet de gokkersdenkfout ook wel de Monte Carlo-denkfout.

De wet van de grote aantallen heeft geen geheugen nodig

Als de munt niets compenseert, waarom nadert het aandeel kop dan ½? Omdat een vast overschot verdund wordt. Tien keer kop te veel bij 20 worpen is een grote afwijking; diezelfde tien bij een miljoen worpen zijn onzichtbaar. Het verschil tussen kop en munt groeit doorgaans als √N, terwijl het aandeel convergeert, omdat √N/N krimpt. De wet van de gemiddelden wordt vaak opgevat als een kracht die uitkomsten terugduwt; het is alleen deze verdunning.

Wanneer het verleden wél telt

Als pogingen niet onafhankelijk zijn, veranderen eerdere uitkomsten wel degelijk de kansen. Kaarten trekken zonder ze terug te leggen verandert het spel kaarten: na veel rode kaarten zijn zwarte waarschijnlijker. Een scheef roulettewiel of een vermoeide speler kan ook echte patronen opleveren. De denkfout is zo’n afhankelijkheid aannemen waar die er niet is, zoals bij een eerlijke munt, een eerlijke dobbelsteen of een loterijtrekking.

Ontdek het in PictorX

Open de gokkersdenkfout-simulator en de munt gooit zichzelf op, 100 keer per seconde. De strook toont de laatste worpen: reeksen van minstens de gekozen reekslengte zijn gearceerd, en de worp direct erna krijgt een gekleurde ring die laat zien of het dezelfde kant was of de andere. Zet ‘Alleen de worpen na een reeks’ aan om die momenten op een rij te zetten, de nieuwste eerst, met het aandeel dat hetzelfde was. De grafiek toont dat aandeel voor reeksen van 1 tot 10 of meer, met 95%-foutbalken rond 50%. Als een reeks jouw lengte bereikt, verschijnt er een melding, die daarna de volgende worp toont. De favoriet ‘Langzaam: volg elke worp’ gooit twee keer per seconde; klik op de munt om hem zelf op te gooien.

Veelgestelde vragen

Is de gokkersdenkfout hetzelfde als de Monte Carlo-denkfout?

Ja. De tweede naam komt van een roulettespel in het casino van Monte Carlo in 1913, waarbij 26 keer op rij zwart viel en spelers zwaar verloren door op rood te wedden.

Brengt een munt kop en munt in evenwicht?

Alleen in verhouding. Over veel worpen nadert het aandeel kop 50%, maar de munt corrigeert geen voorsprong; de voorsprong wordt verdund door de worpen die volgen.

Wat is de kans op 10 keer kop op rij?

(½)¹⁰ = 1/1024, gezien van vóór de eerste worp. Maar na negen keer kop is de kans dat de tiende worp kop is ½.

Wat is de omgekeerde gokkersdenkfout?

Uit een onwaarschijnlijke uitkomst, zoals dubbel zes, concluderen dat er daarvoor veel worpen moeten zijn geweest. Een worp is even waarschijnlijk dubbel zes, of het nu de eerste of de duizendste is.

Waarom telt de app overlappende reeksen?

Omdat elke worp een nieuwe test van de bewering is. Na de 5e, 6e en 7e keer kop van een reeks van zeven was er net vijf keer kop op rij gevallen, en elk van die momenten vraagt wat de volgende worp wordt.