Om spillerens fejlslutning | Uafhængighed, stimer og gennemsnitsloven

Uafhængige hændelser

To hændelser er uafhængige, når kendskab til udfaldet af den ene ikke ændrer sandsynligheden for den anden. Møntkast, terningkast og roulettespin er uafhængige: mønten, terningen og hjulet fører ikke regnskab med tidligere resultater. For en fair mønt er chancen for krone i kast 9, givet krone i kast 1 til 8, simpelthen chancen for krone: ½.

En stime er usandsynlig, næste kast er ikke

Før du begynder, har otte gange krone i træk sandsynligheden (½)⁸ = 1/256, og ni gange krone i træk 1/512. Skridtet fra otte til ni er en faktor ½: chancen for én krone mere. Fejlslutningen forveksler chancen for hele stimen, som er lille, med chancen for næste kast, når stimen allerede er sket, og den er ½. Enhver bestemt række af ni kast, såsom KPPKKPKPK, er præcis lige så usandsynlig som ni gange krone.

Hvor ofte stimer forekommer

Lange stimer er langt mere almindelige, end intuitionen siger. I 100 kast med en fair mønt er den længste stime af krone eller plat som regel 6, 7 eller 8 lang, og en stime på mindst 5 dukker op i næsten hver række. Beder man folk skrive en tilfældig række ned, skifter de for tit mellem krone og plat og undgår lange stimer. Sådan kan lærere afsløre opdigtede lektier med møntkast.

Monte Carlo, 1913

Den 18. august 1913 landede kuglen ved et roulettebord på kasinoet i Monte Carlo på sort 26 gange i træk. Mens stimen voksede, stablede spillerne deres indsatser på rød, overbeviste om at hjulet måtte rette sig selv. Hvert spin havde stadig den samme chance for rød: 18 af de 37 felter. Efter den aften kaldes spillerens fejlslutning også Monte Carlo-fejlslutningen.

Store tals lov kræver ingen hukommelse

Hvis mønten ikke kompenserer, hvorfor nærmer andelen af krone sig så ½? Fordi et fast overskud bliver fortyndet. Ti gange krone for meget blandt 20 kast er en stor afvigelse; de samme ti blandt en million kast er usynlige. Forskellen mellem krone og plat vokser typisk som √N, mens andelen konvergerer, fordi √N/N skrumper. Gennemsnitsloven misforstås ofte som en kraft, der skubber resultaterne tilbage; den er kun denne fortynding.

Når fortiden faktisk betyder noget

Når forsøg ikke er uafhængige, ændrer tidligere resultater faktisk chancerne. At trække kort uden at lægge dem tilbage ændrer bunken: efter mange røde kort er sorte mere sandsynlige. Et skævt hjul eller en træt spiller kan også give ægte mønstre. Fejlslutningen er at antage sådan en afhængighed, hvor der ikke er nogen, som ved en fair mønt, en fair terning eller en lottotrækning.

Udforsk det i PictorX

Åbn simulatoren af spillerens fejlslutning, og mønten kastes af sig selv, 100 gange i sekundet. Strimlen viser de seneste kast: stimer på mindst den valgte stimelængde er skraveret, og kastet lige efter får en farvet ring, der viser, om det blev den samme side eller den anden. Slå »Kun kastene efter en stime« til for at liste de øjeblikke, de nyeste først, med andelen, der var den samme. Diagrammet viser den andel for stimer på 1 til 10 eller flere, med 95 %-fejlsøjler omkring 50 %. Når en stime når din længde, siger en meddelelse det og viser derefter næste kast. Favoritten »Langsomt: se hvert kast« kaster to gange i sekundet; klik på mønten for selv at kaste den.

Ofte stillede spørgsmål

Er spillerens fejlslutning det samme som Monte Carlo-fejlslutningen?

Ja. Det andet navn kommer fra et roulettespil på kasinoet i Monte Carlo i 1913, hvor sort kom 26 gange i træk, og spillere tabte stort på at satse på rød.

Udligner en mønt krone og plat?

Kun i forhold. Over mange kast nærmer andelen af krone sig 50 %, men mønten retter ikke op på et forspring; forspringet fortyndes af de kast, der følger.

Hvad er chancen for 10 gange krone i træk?

(½)¹⁰ = 1/1024, set fra før det første kast. Men efter ni gange krone er chancen for, at det tiende kast bliver krone, ½.

Hvad er spillerens omvendte fejlslutning?

At slutte ud fra et usandsynligt resultat, for eksempel to seksere, at der må være slået mange gange før. Et slag er lige så sandsynligt to seksere, uanset om det er det første eller det tusinde.

Hvorfor tæller appen overlappende stimer?

Fordi hvert kast er en ny test af påstanden. Efter den 5., 6. og 7. krone i en stime på syv var der netop faldet fem gange krone i træk, og hvert af de øjeblikke spørger, hvad næste kast bliver.