Об ошибке игрока | Независимость, серии и закон средних чисел

Независимые события

Два события независимы, если знание исхода одного не меняет вероятность другого. Броски монеты, броски кубика и вращения рулетки независимы: монета, кубик и колесо не ведут учёт прежних результатов. Для честной монеты вероятность орла при 9-м броске, если в бросках с 1-го по 8-й выпадал орёл, — это просто вероятность орла: ½.

Серия маловероятна, следующий бросок — нет

До начала бросков восемь орлов подряд имеют вероятность (½)⁸ = 1/256, а девять орлов подряд — 1/512. Шаг от восьми к девяти — это множитель ½: шанс ещё одного орла. Ошибка смешивает вероятность всей серии, которая мала, с вероятностью следующего броска, когда серия уже случилась, а она равна ½. Любая конкретная последовательность из девяти бросков, например ОРРООРОРО, ровно так же маловероятна, как девять орлов.

Как часто встречаются серии

Длинные серии встречаются гораздо чаще, чем подсказывает интуиция. В 100 бросках честной монеты самая длинная серия орлов или решек обычно имеет длину 6, 7 или 8, а серия хотя бы из 5 появляется почти в каждой последовательности. Когда людей просят записать случайную последовательность, они слишком часто чередуют орла и решку и избегают длинных серий. Так учителя порой распознают выдуманные домашние задания с подбрасыванием монеты.

Монте-Карло, 1913

18 августа 1913 года шарик за одним из рулеточных столов казино Монте-Карло 26 раз подряд упал на чёрное. По мере того как серия росла, игроки громоздили ставки на красное, уверенные, что колесо должно исправиться. Но при каждом вращении шанс красного был тем же: 18 из 37 ячеек. С того вечера ошибку игрока называют также ошибкой Монте-Карло.

Закону больших чисел не нужна память

Если монета ничего не компенсирует, почему доля орлов приближается к ½? Потому что фиксированный избыток размывается. Десять лишних орлов на 20 бросков — большое отклонение; те же десять на миллион бросков незаметны. Разница между орлами и решками обычно растёт как √N, а доля сходится, потому что √N/N уменьшается. Закон средних чисел часто ошибочно понимают как силу, которая возвращает результаты назад; на деле это лишь такое размывание.

Когда прошлое всё-таки важно

Когда испытания не независимы, прежние результаты действительно меняют шансы. Если тянуть карты, не возвращая их, колода меняется: после многих красных карт чёрные становятся вероятнее. Перекошенное колесо или уставший игрок тоже могут давать настоящие закономерности. Ошибка в том, чтобы предполагать такую зависимость там, где её нет, как у честной монеты, честного кубика или в лотерейном тираже.

Исследуйте в PictorX

Откройте симулятор ошибки игрока, и монета начнёт сама подбрасываться, 100 раз в секунду. Лента показывает последние броски: серии длиной не меньше выбранной длины серии затенены, а бросок сразу после них получает цветное кольцо, которое показывает, выпала ли та же сторона или другая. Включите «Только броски после серии», чтобы получить список этих моментов, начиная с самого нового, с долей совпадений. Диаграмма показывает эту долю для серий длиной от 1 до 10 и более, с 95-процентными планками погрешностей вокруг 50%. Когда серия достигает вашей длины, об этом сообщает подсказка, а затем она показывает следующий бросок. Избранный режим «Медленно: следить за каждым броском» бросает два раза в секунду; нажмите на монету, чтобы подбросить её самостоятельно.

Часто задаваемые вопросы

Ошибка игрока и ошибка Монте-Карло — это одно и то же?

Да. Второе название происходит от игры в рулетку в казино Монте-Карло в 1913 году, когда чёрное выпало 26 раз подряд, а игроки, ставившие на красное, сильно проиграли.

Уравнивает ли монета орлов и решек?

Только в пропорции. За много бросков доля орлов приближается к 50%, но монета не исправляет перевес; перевес размывается последующими бросками.

Какова вероятность 10 орлов подряд?

(½)¹⁰ = 1/1024, если смотреть до первого броска. Но после девяти орлов вероятность того, что десятый бросок даст орла, равна ½.

Что такое обратная ошибка игрока?

Вывод из маловероятного результата, например двух шестёрок, что до него, должно быть, было много бросков. Бросок с одинаковой вероятностью даёт две шестёрки, будь он первым или тысячным.

Почему приложение считает перекрывающиеся серии?

Потому что каждый бросок — это новая проверка утверждения. После 5-го, 6-го и 7-го орла в серии из семи только что выпало пять орлов подряд, и каждый из этих моментов задаёт вопрос, каким будет следующий бросок.

Сопутствующие инструменты

Ошибка игрока

Подбрасывайте честную монету 100 раз в секунду и смотрите, что выпадает после каждой серии из 5 или 8 орлов подряд. По-прежнему 50/50: у монеты нет памяти.

Парадокс Монти Холла

Парадокс Монти Холла на практике: выберите одну из трёх дверей, посмотрите, как Монти открывает другую, с козой, и решите, остаться или сменить. Играйте сами или дайте компьютеру сыграть 1000 игр и убедитесь, что смена выигрывает в двух случаях из трёх.