जुआरी की भ्रांति के बारे में | स्वतंत्रता, सिलसिले और औसत का नियम

स्वतंत्र घटनाएँ

दो घटनाएँ स्वतंत्र होती हैं जब एक का परिणाम जानने से दूसरी की प्रायिकता नहीं बदलती। सिक्का उछालना, पासा फेंकना और रूलेट घुमाना स्वतंत्र हैं: सिक्का, पासा और पहिया पिछले परिणामों का कोई हिसाब नहीं रखते। निष्पक्ष सिक्के के लिए, अगर उछाल 1 से 8 तक चित आया हो, तो उछाल 9 पर चित की संभावना बस चित की संभावना है: ½।

सिलसिला असंभावित है, अगला उछाल नहीं

शुरू करने से पहले, लगातार आठ चित की प्रायिकता (½)⁸ = 1/256 है, और लगातार नौ चित की 1/512। आठ से नौ तक का कदम ½ का गुणक है: एक और चित आने की संभावना। यह भ्रांति पूरे सिलसिले की संभावना को, जो छोटी है, सिलसिला हो चुकने के बाद अगले उछाल की संभावना से मिला देती है, जो ½ है। नौ उछालों का हर ख़ास अनुक्रम, जैसे चपपचचपचपच, ठीक उतना ही असंभावित है जितना नौ चित।

सिलसिले कितनी बार आते हैं

लंबे सिलसिले सहज बुद्धि के अनुमान से कहीं ज़्यादा आम हैं। निष्पक्ष सिक्के के 100 उछालों में चित या पट का सबसे लंबा सिलसिला आमतौर पर 6, 7 या 8 का होता है, और कम से कम 5 का सिलसिला लगभग हर अनुक्रम में दिखता है। जब लोगों से कोई यादृच्छिक अनुक्रम लिखने को कहा जाता है, तो वे चित और पट के बीच बहुत बार बदलते हैं और लंबे सिलसिलों से बचते हैं। शिक्षक गढ़े हुए सिक्का-उछाल होमवर्क को कभी-कभी ऐसे ही पकड़ लेते हैं।

मोंटे कार्लो, 1913

18 अगस्त 1913 को मोंटे कार्लो कैसीनो की एक रूलेट मेज़ पर गेंद लगातार 26 बार काले पर गिरी। जैसे-जैसे सिलसिला बढ़ा, खिलाड़ी इस यक़ीन के साथ लाल पर दाँव का ढेर लगाते गए कि पहिया अब ख़ुद को सुधारेगा। फिर भी हर चक्कर में लाल की संभावना वही थी: 37 में से 18 खाने। उस शाम के बाद से जुआरी की भ्रांति को मोंटे कार्लो भ्रांति भी कहा जाता है।

बड़ी संख्याओं के नियम को याददाश्त की ज़रूरत नहीं

अगर सिक्का भरपाई नहीं करता, तो चित का अनुपात ½ के पास क्यों पहुँचता है? क्योंकि एक तय अधिशेष घुल जाता है। 20 उछालों में दस चित ज़्यादा होना बड़ा विचलन है; दस लाख उछालों में वही दस दिखाई तक नहीं देते। चित और पट का अंतर आमतौर पर √N की तरह बढ़ता है, जबकि अनुपात अभिसरित होता है, क्योंकि √N/N घटता जाता है। औसत के नियम को अक्सर ग़लती से ऐसी शक्ति समझ लिया जाता है जो परिणामों को वापस धकेलती है; यह बस यही घुलना है।

जब अतीत सचमुच मायने रखता है

जब प्रयोग स्वतंत्र नहीं होते, तब पिछले परिणाम सचमुच संभावनाएँ बदलते हैं। पत्ते वापस रखे बिना निकालने से गड्डी बदल जाती है: कई लाल पत्तों के बाद काले पत्ते ज़्यादा संभावित हो जाते हैं। असंतुलित पहिया या थका हुआ खिलाड़ी भी असली पैटर्न पैदा कर सकता है। भ्रांति यह है कि जहाँ ऐसी कोई निर्भरता नहीं है, वहाँ भी उसे मान लिया जाए, जैसे निष्पक्ष सिक्के, निष्पक्ष पासे या लॉटरी ड्रॉ में।

PictorX में आज़माएँ

जुआरी की भ्रांति सिम्युलेटर खोलें और सिक्का अपने आप उछलने लगता है, हर सेकंड 100 बार। पट्टी ताज़ा उछाल दिखाती है: कम से कम चुनी गई सिलसिले की लंबाई वाले सिलसिलों पर छाया होती है, और उनके ठीक बाद वाले उछाल को एक रंगीन घेरा मिलता है जो बताता है कि वह वही पहलू था या दूसरा। इन पलों की सूची देखने के लिए "सिर्फ़ सिलसिले के बाद के उछाल" चालू करें, सबसे नए पहले, साथ में यह अनुपात कि कितने वही रहे। चार्ट 1 से 10 या उससे ज़्यादा लंबाई के सिलसिलों के लिए यही अनुपात दिखाता है, 50% के आसपास 95% त्रुटि-पट्टियों के साथ। जब कोई सिलसिला आपकी चुनी लंबाई तक पहुँचता है, तो एक सूचना यह बताती है और फिर अगला उछाल दिखाती है। पसंदीदा "धीमा: हर उछाल देखें" हर सेकंड दो बार उछालता है; ख़ुद उछालने के लिए सिक्के पर क्लिक करें।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

क्या जुआरी की भ्रांति और मोंटे कार्लो भ्रांति एक ही हैं?

हाँ। दूसरा नाम 1913 में मोंटे कार्लो कैसीनो के एक रूलेट खेल से आया है, जब काला लगातार 26 बार आया और लाल पर दाँव लगाने वाले खिलाड़ियों ने भारी नुकसान उठाया।

क्या सिक्का चित और पट को बराबर कर देता है?

सिर्फ़ अनुपात में। बहुत सारे उछालों में चित का अनुपात 50% के पास पहुँचता है, लेकिन सिक्का किसी बढ़त को ठीक नहीं करता; वह बढ़त बाद के उछालों में घुल जाती है।

लगातार 10 बार चित की संभावना क्या है?

(½)¹⁰ = 1/1024, पहले उछाल से पहले देखने पर। लेकिन नौ चित के बाद दसवें उछाल के चित होने की संभावना ½ है।

उलटी जुआरी की भ्रांति क्या है?

किसी असंभावित परिणाम, जैसे दो छक्कों, से यह निष्कर्ष निकालना कि उससे पहले ज़रूर बहुत बार पासा फेंका गया होगा। कोई फेंक पहली हो या हज़ारवीं, उसके दो छक्के होने की संभावना बराबर है।

ऐप एक-दूसरे पर चढ़े सिलसिलों को क्यों गिनता है?

क्योंकि हर उछाल उस दावे की एक नई परीक्षा है। सात चित के सिलसिले में 5वें, 6ठे और 7वें चित के बाद अभी-अभी लगातार पाँच चित आए थे, और इनमें से हर पल यही पूछता है कि अगला उछाल क्या होगा।