ギャンブラーの誤謬
ギャンブラーの誤謬とは、ランダムな過程の過去の結果が次の結果の確率を変えるという思い込みです。自然に感じられ、大金を失わせてきましたが、試行が独立である限り誤りです。
独立事象
一方の結果を知っても、もう一方の確率が変わらないとき、二つの事象は独立です。コイン投げ、サイコロ振り、ルーレットの回転は独立です。コインもサイコロもルーレット盤も、以前の結果を記録していません。公正なコインでは、1回目から8回目まで表だったとき、9回目に表が出る確率は単に表が出る確率、つまり½です。
連続は起きにくい、次の1回はそうではない
始める前に見れば、表が8回続く確率は(½)⁸ = 1/256、9回続く確率は1/512です。8回から9回への一歩は½倍、つまりもう1回表が出る確率です。この誤謬は、小さい連続全体の確率と、連続がすでに起きたあとの次の1回の確率（½）を取り違えています。たとえば「表裏裏表表裏表裏表」のような特定の9回の並びは、どれも表の9回連続とまったく同じくらい起きにくいのです。
連続はどれくらい現れるか
長い連続は、直感が告げるよりずっとよく現れます。公正なコインを100回投げると、表または裏の最長の連続はたいてい6、7、8回で、5回以上の連続はほぼどの並びにも現れます。ランダムな並びを書いてもらうと、人は表と裏を頻繁に入れ替えすぎ、長い連続を避けてしまいます。先生が作り話のコイン投げの宿題を見抜く方法の一つです。
モンテカルロ、1913年
1913年8月18日、モンテカルロのカジノのルーレット台で、球が26回続けて黒に落ちました。連続が伸びるにつれ、プレイヤーたちは盤が自ら帳尻を合わせるはずだと確信して、赤に賭け金を積み上げました。それでも毎回、赤が出る確率は同じ、37のポケットのうち18でした。この夜にちなんで、ギャンブラーの誤謬はモンテカルロの誤謬とも呼ばれます。
大数の法則に記憶は要らない
コインが埋め合わせをしないなら、なぜ表の割合は½に近づくのでしょう？ 一定の超過分が薄まるからです。20回のうち表が10回多いのは大きなずれですが、100万回のうちの同じ10回は見えなくなります。表と裏の差はふつう√Nのように大きくなりますが、√N/Nが小さくなるので、割合は収束します。平均の法則は、結果を押し戻す力のように誤解されがちですが、実際にはこの薄まりにすぎません。
過去が本当に影響するとき
試行が独立でないときは、以前の結果が実際に確率を変えます。カードを戻さずに引いていくと山札が変わり、赤いカードが多く出たあとは黒いカードが出やすくなります。偏ったルーレット盤や疲れたプレイヤーも、本物のパターンを生むことがあります。誤謬とは、公正なコインや公正なサイコロ、宝くじの抽選のように依存関係がないところに、そうした依存を想定することです。
PictorX で試す
ギャンブラーの誤謬シミュレーターを開くと、コインがひとりでに1秒に100回投げられます。テープには最近の結果が表示されます。選んだ連続の長さ以上の連続には影がつき、そのすぐあとの1回には、同じ面だったか反対の面だったかを示す色つきの輪がつきます。「連続のあとの回だけ」をオンにすると、その瞬間が新しい順に一覧になり、同じだった割合も表示されます。グラフは、長さ1から10以上までの連続についてその割合を示し、50%のまわりに95%の誤差棒がつきます。連続が設定した長さに達するとお知らせが表示され、続いて次の結果が示されます。お気に入りの「ゆっくり：1回ずつ見る」では1秒に2回投げます。コインをクリックすれば自分で投げられます。
よくある質問
ギャンブラーの誤謬とモンテカルロの誤謬は同じものですか？
はい。2つ目の名前は、1913年にモンテカルロのカジノで行われたルーレットに由来します。そのとき黒が26回続けて出て、赤に賭けたプレイヤーたちは大損しました。
コインは表と裏を釣り合わせますか？
割合の上でだけです。何度も投げると表の割合は50%に近づきますが、コインがリードを修正するわけではありません。リードはその後の投げによって薄まるのです。
表が10回続く確率は？
(½)¹⁰ = 1/1024です（最初に投げる前から見た場合）。しかし表が9回続いたあと、10回目が表になる確率は½です。
逆ギャンブラーの誤謬とは何ですか？
6のゾロ目のような起きにくい結果から、その前に何度も振ったに違いないと結論づけることです。1回の振りが6のゾロ目になる確率は、それが1回目でも1000回目でも同じです。
アプリはなぜ重なり合う連続も数えるのですか？
どの1回も、その主張の新しい検証になるからです。7回続いた表のうち5回目、6回目、7回目のあとでは、どれもその直前に表が5回続いたばかりで、それぞれの瞬間が次に何が出るかを問うことになります。
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試してみますか？
ブラウザで PictorX を開きます。インストール不要、始めるのにクレジットカードも不要です。
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