La fallacia dello scommettitore | Indipendenza, serie e legge delle medie

Eventi indipendenti

Due eventi sono indipendenti quando conoscere l’esito di uno non cambia la probabilità dell’altro. I lanci di una moneta, i lanci di un dado e i giri della roulette sono indipendenti: la moneta, il dado e la ruota non tengono traccia dei risultati precedenti. Per una moneta equa, la probabilità di testa al 9° lancio, sapendo che i lanci da 1 a 8 hanno dato testa, è semplicemente la probabilità di testa: ½.

Una serie è improbabile, il lancio successivo no

Prima di iniziare, otto teste di fila hanno probabilità (½)⁸ = 1/256, e nove teste di fila 1/512. Il passo da otto a nove è un fattore ½: la probabilità di un’altra testa. La fallacia confonde la probabilità dell’intera serie, che è piccola, con la probabilità del lancio successivo una volta che la serie è avvenuta, che è ½. Ogni sequenza particolare di nove lanci, come TCCTTCTCT, è esattamente improbabile quanto nove teste.

Quanto spesso compaiono le serie

Le serie lunghe sono molto più comuni di quanto dica l’intuito. In 100 lanci di una moneta equa la serie più lunga di teste o di croci è di solito lunga 6, 7 o 8, e una serie di almeno 5 compare in quasi ogni sequenza. Quando si chiede alle persone di scrivere una sequenza casuale, passano troppo spesso da testa a croce ed evitano le serie lunghe. È uno dei modi in cui gli insegnanti scoprono i compiti sul lancio della moneta inventati.

Monte Carlo, 1913

Il 18 agosto 1913 la pallina di un tavolo da roulette del Casinò di Monte Carlo cadde sul nero 26 volte di fila. Man mano che la serie cresceva, i giocatori ammucchiavano le puntate sul rosso, convinti che la ruota dovesse correggersi. Ogni giro aveva comunque la stessa probabilità di rosso: 18 caselle su 37. Da quella sera la fallacia dello scommettitore si chiama anche fallacia di Monte Carlo.

La legge dei grandi numeri non ha bisogno di memoria

Se la moneta non compensa, perché la quota di teste si avvicina a ½? Perché un’eccedenza fissa viene diluita. Dieci teste in più su 20 lanci sono una grande deviazione; le stesse dieci su un milione di lanci sono invisibili. La differenza tra teste e croci di solito cresce come √N, mentre la quota converge, perché √N/N si riduce. La legge delle medie viene spesso fraintesa come una forza che riporta indietro i risultati; è solo questa diluizione.

Quando il passato conta davvero

Quando le prove non sono indipendenti, i risultati precedenti cambiano davvero le probabilità. Pescare carte senza rimetterle nel mazzo cambia il mazzo: dopo molte carte rosse, quelle nere diventano più probabili. Anche una ruota sbilanciata o un giocatore stanco possono produrre schemi reali. La fallacia sta nel supporre una tale dipendenza dove non c’è, come con una moneta equa, un dado equo o un’estrazione del lotto.

Esploralo in PictorX

Apri il simulatore della fallacia dello scommettitore e la moneta si lancia da sola, 100 volte al secondo. Il nastro mostra gli ultimi lanci: le serie lunghe almeno quanto la lunghezza scelta sono ombreggiate, e il lancio subito dopo riceve un anello colorato che dice se ha dato la stessa faccia o l’altra. Attiva «Solo i lanci dopo una serie» per elencare quei momenti, dal più recente, con la quota di lanci uguali. Il grafico mostra quella quota per serie da 1 a 10 o più, con barre d’errore al 95% intorno al 50%. Quando una serie raggiunge la tua lunghezza, un riquadro lo annuncia e poi mostra il lancio successivo. Il preferito «Lento: segui ogni lancio» lancia due volte al secondo; fai clic sulla moneta per lanciarla tu.

Domande frequenti

La fallacia dello scommettitore è la stessa cosa della fallacia di Monte Carlo?

Sì. Il secondo nome viene da una partita alla roulette al Casinò di Monte Carlo nel 1913, in cui il nero uscì 26 volte di fila e i giocatori persero molto puntando sul rosso.

Una moneta pareggia teste e croci?

Solo in proporzione. Su molti lanci la quota di teste si avvicina al 50%, ma la moneta non corregge un vantaggio; il vantaggio viene diluito dai lanci che seguono.

Qual è la probabilità di 10 teste di fila?

(½)¹⁰ = 1/1024, vista da prima del primo lancio. Ma dopo nove teste, la probabilità che il decimo lancio dia testa è ½.

Che cos’è la fallacia dello scommettitore inversa?

Concludere da un risultato improbabile, come un doppio sei, che prima devono esserci stati molti lanci. Un lancio ha la stessa probabilità di dare un doppio sei, che sia il primo o il millesimo.

Perché l’app conta serie che si sovrappongono?

Perché ogni lancio è una nuova verifica dell’affermazione. Dopo la 5ª, la 6ª e la 7ª testa di una serie di sette, erano appena uscite cinque teste di fila, e ognuno di quei momenti chiede quale sarà il lancio successivo.