Sobre a falácia do jogador | Independência, sequências e lei das médias

Acontecimentos independentes

Dois acontecimentos são independentes quando conhecer o resultado de um não muda a probabilidade do outro. Lançamentos de moeda, lançamentos de dado e jogadas de roleta são independentes: a moeda, o dado e a roda não guardam registo dos resultados anteriores. Para uma moeda equilibrada, a probabilidade de cara no 9.º lançamento, sabendo que os lançamentos 1 a 8 deram cara, é simplesmente a probabilidade de cara: ½.

Uma sequência é improvável, o próximo lançamento não

Antes de começar, oito caras seguidas têm probabilidade (½)⁸ = 1/256, e nove caras seguidas 1/512. O passo de oito para nove é um fator ½: a probabilidade de mais uma cara. A falácia confunde a probabilidade da sequência inteira, que é pequena, com a probabilidade do lançamento seguinte depois de a sequência já ter acontecido, que é ½. Qualquer série específica de nove lançamentos, como CKKCCKCKC, é exatamente tão improvável como nove caras.

Com que frequência surgem sequências

As sequências longas são muito mais comuns do que a intuição diz. Em 100 lançamentos de uma moeda equilibrada, a sequência mais longa de caras ou de coroas tem normalmente 6, 7 ou 8, e uma sequência de pelo menos 5 aparece em quase todas as séries. Quando se pede às pessoas que escrevam uma série aleatória, alternam demasiadas vezes entre cara e coroa e evitam sequências longas. É uma das formas como os professores detetam trabalhos de casa de cara ou coroa inventados.

Monte Carlo, 1913

A 18 de agosto de 1913, a bola de uma mesa de roleta do Casino de Monte Carlo caiu no preto 26 vezes seguidas. À medida que a sequência crescia, os jogadores amontoavam as apostas no vermelho, convencidos de que a roda tinha de se corrigir. Cada jogada continuava a ter a mesma probabilidade de vermelho: 18 das 37 casas. Desde essa noite, a falácia do jogador também se chama falácia de Monte Carlo.

A lei dos grandes números não precisa de memória

Se a moeda não compensa, porque é que a proporção de caras se aproxima de ½? Porque um excedente fixo é diluído. Dez caras a mais em 20 lançamentos são um grande desvio; as mesmas dez num milhão de lançamentos são invisíveis. A diferença entre caras e coroas cresce tipicamente como √N, enquanto a proporção converge, porque √N/N diminui. A lei das médias é muitas vezes mal interpretada como uma força que empurra os resultados de volta; é apenas esta diluição.

Quando o passado conta mesmo

Quando as tentativas não são independentes, os resultados anteriores mudam de facto as probabilidades. Tirar cartas sem as repor muda o baralho: depois de muitas cartas vermelhas, as pretas tornam-se mais prováveis. Uma roda desequilibrada ou um jogador cansado também podem produzir padrões reais. A falácia é presumir uma dependência destas onde não existe, como numa moeda equilibrada, num dado equilibrado ou num sorteio da lotaria.

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Abra o simulador da falácia do jogador e a moeda lança-se sozinha, 100 vezes por segundo. A fita mostra os últimos lançamentos: as sequências com pelo menos o comprimento escolhido ficam sombreadas, e o lançamento logo a seguir recebe um anel colorido que indica se saiu a mesma face ou a outra. Ative «Só os lançamentos após uma sequência» para listar esses momentos, do mais recente para o mais antigo, com a proporção que foi igual. O gráfico mostra essa proporção para sequências de 1 a 10 ou mais, com barras de erro de 95% em torno de 50%. Quando uma sequência atinge o seu comprimento, um aviso anuncia-o e depois mostra o lançamento seguinte. O favorito «Lento: veja cada lançamento» lança duas vezes por segundo; clique na moeda para a lançar à mão.

Perguntas frequentes

A falácia do jogador é o mesmo que a falácia de Monte Carlo?

Sim. O segundo nome vem de um jogo de roleta no Casino de Monte Carlo em 1913, em que o preto saiu 26 vezes seguidas e os jogadores perderam muito a apostar no vermelho.

Uma moeda equilibra caras e coroas?

Só em proporção. Ao fim de muitos lançamentos, a proporção de caras aproxima-se de 50%, mas a moeda não corrige uma vantagem; a vantagem é diluída pelos lançamentos que se seguem.

Qual é a probabilidade de 10 caras seguidas?

(½)¹⁰ = 1/1024, vista antes do primeiro lançamento. Mas, depois de nove caras, a probabilidade de o décimo lançamento ser cara é ½.

O que é a falácia do jogador inversa?

Concluir, a partir de um resultado improvável como um duplo seis, que antes dele tem de ter havido muitos lançamentos. Um lançamento tem a mesma probabilidade de dar duplo seis, seja o primeiro ou o milésimo.

Porque é que a aplicação conta sequências sobrepostas?

Porque cada lançamento é um novo teste da afirmação. Após a 5.ª, a 6.ª e a 7.ª cara de uma sequência de sete, tinham acabado de sair cinco caras seguidas, e cada um desses momentos pergunta qual será o lançamento seguinte.