Simulador do paradoxo do aniversário | Porque bastam 23 pessoas para 50%

Como funciona

Clique no ecrã para um novo grupo de 23 pessoas. As pessoas chegam uma a uma, e aparece uma linha para cada novo par.
Observe o calendário: um dia com dois aniversários acende-se, e a mensagem indica o aniversário em comum.
Prima Testar automaticamente para 1000 grupos, ou Testar todos os tamanhos para ver a probabilidade subir de 2 para 100 pessoas.

Porque é que a nossa intuição falha

Numa sala, raciocinamos inconscientemente a partir de nós próprios: qual é a probabilidade de alguém fazer anos no mesmo dia que eu? Com 365 dias, essa probabilidade é pequena, cerca de 6% com outras 22 pessoas. Mas o paradoxo pergunta se duas pessoas quaisquer fazem anos no mesmo dia: A e B, B e C, A e C, e assim por diante. Vinte e três pessoas formam 23 × 22 / 2 = 253 pares, e cada um deles é uma oportunidade de coincidência. O número de pares cresce com o quadrado do grupo, por isso a probabilidade dispara.

O cálculo

O mais fácil é calcular a probabilidade de ninguém partilhar o aniversário e subtraí-la de 100%. A primeira pessoa fica com um dia qualquer. A segunda tem uma probabilidade de 364/365 de calhar noutro dia, a terceira uma probabilidade de 363/365 de evitar os dois primeiros, e assim por diante. Para 23 pessoas: 365/365 × 364/365 × 363/365 × … × 343/365 ≈ 49,3%. A probabilidade de pelo menos um aniversário em comum é então 100% − 49,3% = 50,7%.

Alguém que faz anos no seu dia

A probabilidade de alguém no grupo partilhar o seu aniversário cresce muito mais devagar: 1 − (364/365)ⁿ⁻¹, porque só n − 1 dos pares o incluem. Com 23 pessoas é de 5,9%, e são precisas outras 253 pessoas para passar os 50%. Mude a pergunta para «Alguém partilha o seu aniversário» para comparar as duas curvas.

Ataques do aniversário em criptografia

O paradoxo é mais do que uma curiosidade para festas. Em segurança informática, é a base do ataque do aniversário: para encontrar duas entradas com o mesmo hash, uma colisão, um atacante precisa de muito menos tentativas do que se esperaria. Para um hash com N valores possíveis, uma colisão torna-se provável após cerca de √N tentativas, e não N. É por isso que os hashes e as assinaturas digitais precisam de saídas suficientemente longas para que nem √N tentativas estejam ao alcance: para um hash de 128 bits, uma colisão exige cerca de 2⁶⁴ tentativas.

Perguntas frequentes

Quantas pessoas são precisas para uma probabilidade de 50% de um aniversário em comum?

23. A probabilidade é então de 50,7%. Com 30 pessoas é de 70,6%, com 41 pessoas de 90,3%, com 57 pessoas de 99,0% e com 70 pessoas de 99,9%.

Porque é que se chama paradoxo?

Não é uma contradição, apenas uma surpresa: a resposta vai contra a intuição. A maioria das pessoas acha que são precisas cerca de metade de 365, umas 180 pessoas, porque compara toda a gente consigo própria em vez de as comparar entre si.

E o 29 de fevereiro e as datas de nascimento reais?

A aplicação, tal como o problema clássico, considera 365 dias igualmente prováveis. Os aniversários reais não estão distribuídos de forma totalmente uniforme ao longo do ano, e uma distribuição desigual torna um aniversário em comum ligeiramente mais provável, e não menos.

Quando é que um aniversário em comum é certo?

Com 366 pessoas: só há 365 dias, por isso, pelo princípio do pombal (ou das gavetas), pelo menos duas de 366 pessoas têm de fazer anos no mesmo dia. Muito antes disso já é praticamente certo: com 100 pessoas a probabilidade é de 99,99997%.

Isto envia alguma coisa?

Não. Tudo é calculado e desenhado numa tela no seu navegador. Guardar transfere um PNG. Editar abre essa imagem no editor do PictorX.

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O paradoxo do aniversário

O paradoxo do aniversário explicado: porque é que 23 pessoas dão uma probabilidade de 50,7% de um aniversário em comum, os 253 pares, o cálculo passo a passo, alguém que faz anos no seu dia, a regra da raiz quadrada e os ataques do aniversário a funções de hash.