O problema de Monty Hall

O enigma

Está num concurso televisivo e pode escolher uma de três portas. Atrás de uma porta está um carro; atrás das outras, cabras. Escolhe uma porta, digamos a n.º 1. O apresentador, que sabe o que está atrás das portas, abre outra, digamos a n.º 3, que tem uma cabra. Depois pergunta: quer trocar para a porta n.º 2? Tem vantagem em trocar?

As regras contam: o apresentador abre sempre uma porta, nunca a sua e nunca a do carro, e oferece sempre a troca.

Todos os casos numa tabela

Suponha que escolhe sempre a porta 1. O carro está atrás da porta 1, 2 ou 3, cada uma com probabilidade 1/3.

Carro atrás da 1: Monty abre a 2 ou a 3. Manter ganha, trocar perde. Carro atrás da 2: Monty tem de abrir a 3. Manter perde, trocar ganha. Carro atrás da 3: Monty tem de abrir a 2. Manter perde, trocar ganha.

Manter ganha num dos três casos igualmente prováveis, trocar em dois. Nada muda na porta 1 quando Monty abre uma porta, por isso ela mantém o seu 1/3, e os outros 2/3 passam para a única porta que ele deixa fechada.

O teorema de Bayes

Digamos que escolheu a porta 1 e Monty abriu a porta 3. Antes de ele a abrir, cada porta esconde o carro com probabilidade 1/3. Se o carro estiver atrás da porta 1, ele abre a porta 3 com probabilidade 1/2, porque pode escolher entre a 2 e a 3. Se estiver atrás da porta 2, abre a porta 3 com certeza. Se estiver atrás da porta 3, nunca a abre. O teorema de Bayes pondera as probabilidades iniciais por estas verosimilhanças:

P(carro 1 | abre 3) = (1/3 · 1/2) / (1/3 · 1/2 + 1/3 · 1 + 1/3 · 0) = 1/3 P(carro 2 | abre 3) = (1/3 · 1) / (1/2) = 2/3

A porta que o apresentador deixa fechada esconde o carro com o dobro da frequência da sua.

Mais portas

Com n portas, escolhe uma e o apresentador abre n − 2 portas com cabras, deixando outra porta fechada. Manter ganha com probabilidade 1/n e trocar com (n − 1)/n. Com 100 portas, ficar com a primeira escolha é apostar numa probabilidade de 1% contra um apresentador que evitou cuidadosamente uma porta específica entre 99. A aplicação vai até 100 portas.

Quando o apresentador não sabe

Se o apresentador abrir as outras portas ao acaso, o raciocínio muda. Com três portas, revela o carro num terço das vezes, e essas partidas não contam. Nas restantes, manter e trocar ganham cada um metade das vezes: ver uma cabra atrás de uma porta aberta ao acaso é um indício que torna mais provável que a sua própria porta esconda o carro, exatamente o suficiente para ficar 50/50. A resposta depende não só do que vê, mas também de como isso chegou a ser mostrado.

A controvérsia de 1990

Steve Selvin apresentou o enigma numa carta à The American Statistician em 1975 e deu-lhe o nome de Monty Hall, apresentador de Let's Make a Deal. Tornou-se famoso em setembro de 1990, quando um leitor o colocou a Marilyn vos Savant na sua coluna da revista Parade e ela respondeu: trocar. Cerca de 10 000 leitores escreveram, quase mil deles doutores, a maioria para lhe dizer que estava errada. Ela tinha razão. Paul Erdős recusou-se a acreditar na resposta até que um colega lhe mostrou uma simulação em computador, que é exatamente o que esta aplicação faz.

Explore-o no PictorX

Abra o problema de Monty Hall e encontra três portas à espera. Clique numa, veja Monty abrir uma porta com uma cabra e depois prima «Manter» ou «Trocar», ou clique na sua porta ou na outra porta fechada. As estatísticas por baixo contam cada partida, e o gráfico mostra as taxas de vitória ao manter e ao trocar à medida que as partidas se acumulam, com linhas tracejadas nos valores teóricos. «Jogar automaticamente» joga até 100 000 partidas, a até 2000 por segundo, mantendo metade das vezes e trocando na outra metade, ou fazendo sempre uma das duas coisas. Escolha 10 ou 100 portas para sentir porque é que trocar ganha, ou deixe Monty abrir portas ao acaso e veja a vantagem desaparecer.