Agulha de Buffon
Deixe cair uma agulha de comprimento l num chão com linhas paralelas a uma distância d. Se a agulha não for mais comprida do que a distância, a probabilidade de cruzar uma linha é 2l/(πd). O PictorX faz os lançamentos por si, desenha cada um e inverte a contagem para que a mesma experiência estime π. Prima reproduzir para deixar cair agulhas ao acaso. Os cruzamentos servem para estimar π. Com a agulha a metade da distância, π é aproximadamente lançamentos a dividir por cruzamentos. Arraste no chão para colocar uma agulha à mão; essa não é contada.
Como funciona
- Abra esta página e prima reproduzir. As agulhas caem ao acaso sobre as linhas.
- Veja π estabilizar. Com a agulha a metade da distância, é lançamentos a dividir por cruzamentos.
- Abra o diagrama do seno, coloque uma agulha à mão ou deixe cair mil de uma vez e guarde um PNG.
Dois números decidem um cruzamento
Um lançamento fica determinado pela distância x do centro da agulha à linha mais próxima e pelo ângulo θ entre a agulha e as linhas. x vai de 0 a d/2. θ vai de 0 a π, porque uma agulha não tem cabeça e meia volta cobre todas as direções. A agulha cruza quando x ≤ (l/2) sen θ.
A fórmula da agulha curta
Para l ≤ d, a probabilidade de um cruzamento é P = 2l/(πd). Os pares (θ, x) preenchem um retângulo com π de largura e d/2 de altura. Os cruzamentos são a área sob a curva do seno, e essa área é l. Ao dividir as duas áreas, π fica no denominador. Com l = d/2 a probabilidade é 1/π, por isso π é aproximadamente lançamentos a dividir por cruzamentos.
Uma forma lenta de encontrar π
A fórmula reorganizada é π ≈ 2l·N / (d·N_hit). É uma estimativa de Monte Carlo, e pouco eficiente. Alguns milhares de lançamentos costumam tornar reconhecíveis os primeiros algarismos. O algarismo seguinte exige uma contagem muito maior. O ± junto ao valor é um erro-padrão da razão. Arraste no chão para colocar uma única agulha e ver o seu x e θ. Essa agulha é desenhada e fica fora da contagem.
Perguntas frequentes
O que é a agulha de Buffon?
Uma agulha de comprimento l largada sobre linhas paralelas a uma distância d. Para uma agulha curta, l ≤ d, a probabilidade de cruzar uma linha é 2l/(πd).
Porque é que π aparece na resposta?
A direção da agulha é um ângulo de 0 a π. Todas as quedas possíveis preenchem um retângulo com essa largura, e os cruzamentos são a área sob uma curva do seno. Ao dividir essas áreas, π fica no denominador.
Como é que a experiência estima π?
Conte os lançamentos N e os cruzamentos N_hit. Então π ≈ 2l·N / (d·N_hit). Com a agulha a metade da distância, isto é lançamentos a dividir por cruzamentos.
Porque é que uma agulha colocada à mão não é contada?
A estimativa precisa de uma posição e de um ângulo aleatórios. Uma agulha que arrasta para o lugar é desenhada para que veja x e θ, mas não é somada a N nem a N_hit.
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