π por Monte Carlo
Pode o puro acaso calcular um número exato? Desenhe um círculo dentro de um quadrado e lance-lhe dardos ao acaso. O círculo cobre π/4 do quadrado, por isso cerca de π/4 dos dardos caem dentro dele. Multiplique essa fração por quatro e tem uma estimativa de π. Quanto mais dardos, mais perto chega: 3, depois 3,1, depois 3,14, depois 3,141… Prima Iniciar e os dardos caem ao acaso no quadrado. A fração que cai dentro do círculo é π/4, por isso π ≈ 4 × dentro ÷ dardos. Quanto mais dardos, mais precisa a estimativa: cem vezes mais dardos dão cerca de mais um algarismo correto. Clique no quadrado para lançar um dardo à mão.
Como funciona
- Prima Iniciar. Os dardos caem ao acaso no quadrado: azuis dentro do círculo, vermelhos fora dele.
- Observe o contador: π ≈ 4 × dentro ÷ dardos. Os algarismos que já coincidem com π aparecem a cores.
- Aumente a velocidade ou lance um milhão de dardos de uma vez e veja a estimativa estabilizar dentro da faixa cada vez mais estreita do gráfico.
Porque é que os dardos encontram π
O quadrado tem lados de comprimento 2 e o círculo lá dentro tem raio 1. A área do quadrado é 4 e a do círculo é π × 1² = π. Um dardo com a mesma probabilidade de cair em qualquer ponto do quadrado cai dentro do círculo com probabilidade π/4, cerca de 78,5%. Conte os dardos, conte os acertos, e 4 × acertos ÷ dardos estima π. O quarto de círculo funciona da mesma maneira: um quarto de um círculo de raio 1 num quadrado de lado 1 também cobre π/4 dele.
A lei dos grandes números
Um só dardo não diz nada: dá 4 ou 0. Cem dardos dão algo como 3,0 ou 3,3. Dez mil dardos costumam ficar a poucas centésimas de π. A lei dos grandes números diz que a fração de acertos se aproxima cada vez mais de π/4 à medida que o número de dardos cresce, por isso a estimativa converge para π.
Porque é que converge devagar
O erro típico após N dardos é cerca de 1,64/√N. Para reduzir o erro a metade, precisa de quatro vezes mais dardos, e mais um algarismo correto custa cem vezes mais. A faixa sombreada do gráfico contém 95% de todas as simulações e estreita-se como 1/√N. Um milhão de dardos deixa um erro de cerca de 0,0016: três ou quatro casas decimais corretas.
Métodos de Monte Carlo
O método deve o nome ao casino do Mónaco. Nos anos 1940, Stanislaw Ulam e John von Neumann usaram amostragem aleatória para seguir neutrões através da matéria, um problema demasiado emaranhado para fórmulas. Hoje, as simulações de Monte Carlo avaliam opções financeiras, calculam a luz nos filmes de animação, preveem o tempo e testam medicamentos. Lançar dardos a um círculo é o exemplo mais simples da ideia: substituir um cálculo difícil por muitas experiências aleatórias.
Perguntas frequentes
Como é que dardos aleatórios calculam π?
O círculo cobre π/4 do quadrado à sua volta. Quando os dardos caem uniformemente ao acaso, cerca de π/4 deles acertam no círculo, por isso quatro vezes a fração de acertos é uma estimativa de π.
Quantos dardos são precisos para chegar a 3,14?
Normalmente dezenas de milhares. O erro diminui como 1,64/√N: com 10 000 dardos, a diferença típica é de cerca de 0,016 e, com 1 000 000 de dardos, de cerca de 0,0016. Cada algarismo correto a mais custa cem vezes mais dardos.
É o mesmo que a agulha de Buffon?
Ambos estimam π com o acaso. A agulha de Buffon deixa cair agulhas sobre linhas e conta os cruzamentos; o método de Monte Carlo lança pontos a um círculo. Os dardos são mais fáceis de compreender e convergem mais depressa: para o mesmo número de lançamentos, o erro é cerca de um terço do da experiência de Buffon com meia agulha.
Os dardos são mesmo aleatórios?
Vêm do gerador de números pseudoaleatórios do seu navegador, que é mais do que suficiente para esta experiência. Cada simulação é diferente, e é por isso que a estimativa vagueia antes de estabilizar.
Isto envia alguma coisa para a internet?
Não. Tudo é calculado e desenhado numa tela no seu navegador. «Guardar» descarrega um PNG. «Editar» abre essa imagem no editor do PictorX.
Ferramentas relacionadas
O método de Monte Carlo e π
Como dardos aleatórios estimam π: o argumento das áreas por trás de 4 × dentro ÷ dardos, a lei dos grandes números, porque é que o erro diminui como 1/√N e de onde vêm os métodos de Monte Carlo.
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